一題多解所涉及的物理思想

譚敏

摘 要：力學涉及諸多的定理、定律，譬如動能定理、轉動動能定理、能量守恒定律等等。這些定理、定律是我們分析解決物理問題時非常重要的思想、方法和工具。現通過一道例題的兩種不同解答方法來分析其背后所蘊藏的物理思想、方法。

關鍵詞：轉動動能;力做功;能量守恒;物理思想

俗話說：條條大路通羅馬，這同樣適用于物理問題的解答。一道物理題有時往往會有多種解答方法，對各種解答方法進行分析，會發現這些解答方法其實是從不同的角度分析、解答問題。再繼續分析，又會發現這些看似不同的分析問題的角度其實內在之間有有著這種或那種內在關聯。下面，從一道物理習題的一題多解，透過現象看本質，來分析其背后所蘊藏的物理思想和原理。

例：一輕繩繞于半徑 ? 的飛輪邊緣。現以恒力

拉繩的一端，使飛輪由靜止開始加速轉動。已知飛輪的轉動慣量 ? ? ?，飛輪與軸承之間的摩擦不計，求：（1）當繩子下拉 ? 時，飛輪獲得的動能;（2）如果將重量 ? 的重物掛在繩端，當繩子下降 ? 時，飛輪獲得的動能是多少？該動能和重力對物體所做的功是否相等？為什么？

（1） 解題思路一：根據剛體定軸轉動動能定義直接計算

解： ? ? ? ? ? ? ? （1）

（2）

聯立可得： ? ? ? ? ? ? ?（3）

由轉動定律可知 ? ? ? ? ? （4）

故： ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

當繩子下拉 ? 時，飛輪的角位移：

（6）

將（6）式代入（5）可得： ? ? ? （7）

代入數據，即可知當繩子下拉 ? 時，飛輪獲得的動能為 ?。

解題思路二：從能量的角度分析，當繩子下拉 ? 時，施加于繩上的恒力會做功，由于飛輪與軸承之間的摩擦不計，故恒力做功應該全部轉化為飛輪定軸轉動的動能。

解：恒力做功： ? ? ? ? ? （8）

根據能量守恒定律： ? ? ? ? ?（9）

代入數據，即可知當繩子下拉 ? 時，飛輪獲得的動能為 ?。

至此，我們從兩個不同的角度對問題（1）進行了分析，從解題過程來看，方法二更便捷。那么，這個看似不同的分析問題的方法之間有沒有內在關系呢？

我們看到（5）式，等式右邊 ? ，其物理意義其實就是力矩的功。

當力矩 為恒力矩時， ? ? ? ?（10）

而該題中，飛輪定軸轉動時所受的和力矩即為恒力 對飛輪轉軸的力矩，是恒力矩。再根據轉動動能定理，力矩做功對于轉動動能的增量，即：

（11）

由于該題中，飛輪是由靜止開始轉動，故初始時刻飛輪的轉動動能為零，故整理可得到（5）式。

由問題（1）中得到的結論：飛輪定軸轉動獲得的動能等于作用在飛輪上繩的拉力所做的功。問題（2）中，當將重量 ? 的重物掛在繩端時，飛輪受到的繩的拉力還是98N ? ? ?嗎？肯定不是！那如何求解呢？

解：先受力分析： 對于重物：重力P，方向豎直向下;繩的張力T ：方向沿繩向上。對于飛輪：繩的張力T '，方向沿繩向下，與T互為作用力與反作用力。

列方程： ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

（13）

（14）

聯立求解得： ? ? ? ? ? ?（15）

將該式代入（14）式，得繩的拉力：

因此，飛輪定軸轉動的動能： ? ? ? ? ，代入數據得： ? ? 。

該過程中，重力對物體所做的功： ? ?，代入數據得： ? ?。很顯然，在問題（2）中，飛輪定軸轉動的動能和重力對物體所做功是不相等的。為什么不相等呢？

在問題（2）中，重物與飛輪構成了一個物體系統，當重物下落的過程中，飛輪在做定軸轉動，獲得轉動動能，同時重物自身也獲得了動能。也就是說，在這個過程中重物所做的功會使得其自身的重力勢能減少，同時使得重物獲得動能，飛輪獲得轉動動能，且重物獲得的動能與飛輪獲得的轉動動能之和應該剛好等于重力對物體所做的功。

通過這個例題的分析，我們會發現看似相同的條件，實際所產生的運動效果是不一樣的，從而得到的結論也不相同。因此，我們在分析問題的時候，一定要從條件出發，分析物體的運動形式，根據不同的運動形式選擇適合的運動學和動力學方程求解。另外，看似不一樣的解題思路和角度，其實它們背后是有著深層次的聯系，這也體現了物理學中的自洽性。最后，力做功一定會跟能量有聯系。譬如保守力做功，會使得勢能發生改變;作用在質點的合外力做功，會使得質點的動能發生變化。當直接計算力做功時，我們可以考慮從能量的角度找切入點。總之，分析問題的角度和方法是多種多樣的，我們可以嘗試采用不同的原理進行分析，但最終答案都會是自洽的。

參考文獻：

[1]趙近芳.大學物理簡明教程[M].北京：北京郵電大學出版社，2009，11

[2]廖耀發.大學物理學[M].北京：高等教育出版社，2014，1