多元函數連續、偏導數存在、可微、偏導數連續關系的探討

高雄飛

【摘要】本文介紹了多元函數在一點處連續、偏導數，可微分的定義，并通過具體反例來說明多元函數在一點處連續、偏導數存在、可微、偏導數連續的關系.

【關鍵詞】多元函數;連續;偏導數;可微

一、引言

理工科專業在高等院校中一直是重點建設專業，其中《高等數學》這門課更是作為重點基礎課程來進行.這門課對學生的數學知識掌握和后期的專業課學習提供一個很好的基礎.高等數學課程中對一元函數和多元函數的教學是作為重點內容對待，也是基礎內容之一.學生在學習這一部分時容易產生很多困難，比如，把導數和偏導數、可微的定義和關系弄混.導致這一問題的原因主要是教師在闡述多元函數時沒有講解清楚其之間的關系，可通過反例舉證，進一步來理解它們之間的關系，使學生在學習這一部分內容時受到啟發.

二、多元函數連續與偏導數連續等的聯系

通過多元函數在一點處偏導數存在，可微，連續的定義，我們可以推導出它們之間存在的關系，《高等數學》教材給出了相關的定理[1]，在這里不再做詳細說明，本文直接給出它們之間相互關系的邏輯圖，如圖1所示，并給出不成立情況下的反例，來加深學生對它們之間關系的理解.

圖1多元函數偏導數存在、可微、連續的關系邏輯圖

1.函數可微與偏導數存在的關系.通過圖1，可以看出函數在一點可微，則偏導數存在，反之，偏導數存在，函數不一定可微.

反例函數f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0， 在點（0，0）處有fx（0，0）=0及fy（0，0）=0，說明函數在（0，0）處偏導數存在，但函數在（0，0）點處不可微.

根據函數在一點可微的定義有：

Δz=fx（0，0）Δx+fy（0，0）Δy+ο（ρ），

即Δz-fx（0，0）Δx-fy（0，0）Δy=ο（ρ），

又因為fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，

所以有Δz=Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2=ο（ρ）.

即 limρ→0Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2ρ=limρ→0Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2=0，

事實上，考慮p′（Δx，Δy）沿著直線y=x趨于（0，0）時，limρ→0Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2=limρ→0Δx·Δx（Δx）2+（Δx）2=12，因此，函數在點（0，0）處不可微分.

2.偏導數存在與函數連續的關系.由圖1，我們可以看出由函數在一點處偏導數存在不能推出函數在該點連續，反之，由函數在一點連續也不一定推出偏導數存在.

反例偏導數存在但不連續，如函數f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0， 在點（0，0）處有fx（0，0）=0及fy（0，0）=0，說明函數在（0，0）處偏導數存在，但函數在（0，0）點處不連續.因為lim（x，y）→（0，0）x·yx2+y2=limx→0y=xx·xx2+x2=12≠f（0，0）.

反例函數連續但偏導數不存在，如函數f（x，y）=|x|+|y|在點（0，0）處連續，但函數在（0，0）處偏導數不存在.根據偏導數定義：fx（0，0）=limΔx→0f（0+Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→0|Δx|Δx極限不存在，所以函數在（0，0）點關于x的偏導數不存在，同理，可證函數在（0，0）點關于y的偏導數也不存在.

3.函數可微與函數連續的關系.通過圖1，我們可以看出函數在一點可微則一定連續，但函數在一點連續不一定可微.

反例[2]函數f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0， 在點（0，0）處連續，因為0

lim（x，y）→（0，0）xyx2+y2=0=f（0，0），但該函數在（0，0）點處不可微，前面已證明.

三、小結

理解多元函數在一點處連續、偏導數以及可微的定義，并掌握它們之間存在的聯系和區別，對研究多元函數具有重要的意義，也是我們在高等數學教學過程中要求學生必須理清楚的知識點.本文系統總結了它們之間的關系，并通過舉反例，使學生能夠對多元函數偏導數、連續性、可微的定義以及它們之間的關系有進一步的理解.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學·下冊（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]毛羽輝，韓士安，吳喂.數學分析學習指導書·下冊（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2011.