講授通解通法，提高教學效率

陳賢

【摘要】在高中數學教學過程中，教師要盡可能地向學生講授“通解通法”.讓學生不僅學會一道題目，而是一類題目.對教學中，課堂上講的每一道題目，都要給予認真全面地思考，才能真正做到“授業解惑”，真正實現高效教學，建設一個和諧、完美的課堂.

【關鍵詞】通解通法;函數;不等式;單調性等

眾所周知，在教學過程中，教師應該掌握并向學生講授一定的解題技巧.但如何實現真正的高效教學，卻值得我們一線教師更多思考.筆者認為需要向學生傳授必要且合適的“通解通法”.現在的課外市場充斥著各類質量參差不齊的教學參考書，提供的某些問題的解決方法，貌似是“通解通法”，實則不然.作為一線教師，我們需要認真思考，仔細鉆研，引導學生，并給出學生易于接受的，且能夠舉一反三的“通解通法”.以下筆者通過幾個例題來和大家一起探討.

例1定義在R上的函數y=f（x），滿足當x>0時，f（x）>1，且對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）·f（y），求證：對任意的x∈R，都有f（x）>0.

分析本題是人教版必修一函數章節中常見的一類題型，以下提供兩種方法供讀者體會.

解法一對任意的x∈R，都有

f（x）=fx2+x2=fx2·fx2=f2x2≥0.

假設存在x0∈R，使f（x0）=0，

則對任意的x∈R，都有

f（x）=f（x-x0+x0）=f（x-x0）·f（x0）=0.

這與已知條件“當x>0時，f（x）>1”矛盾，所以假設不成立，

所以對任意的x∈R，都有f（x）=f2x2>0.

解法二在f（x+y）=f（x）·f（y）中，令y=0，有

f（x）=f（x）·f（0）.

∵x>0時，f（x）>1，∴f（0）=1.

設x<0，則-x>0，f（-x）>1，則

f（0）=f（x+（-x））=f（x）·f（-x），

∴f（x）=f（0）f（-x）=1f（-x）>0.

綜上所述，對任意的x∈R，都有f（x）>0.

評注解法一先求證f（x）=f2x2≥0，再利用反證法排除了f（x）=0的可能性，看似巧妙，實則對學生來說不易想到.相比較，解法二更為通用，利用已知x>0時，f（x）>1，再求證x=0，x>0時，f（x）>0也滿足，也符合我們在類似題目中常和學生提到的“求什么，設什么”的解題思路.

例2已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊的邊長分別是a，b，c，且a，b，c成等差數列，求∠B的取值范圍.

分析本題是高三復習課比較常見的一道題目，它考查了等差數列、三角函數、解不等式等核心知識點，是一道區分度很高的題目.一般的解法是：

因為a，b，c成等差數列，所以b=a+c2，

所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac

=34a2+c22ac-14，

根據基本不等式，a2+c2≥2ac，所以cosB≥34-14=12，又∠B∈（0，π），且函數y=cosx在x∈（0，π）上是減函數，所以∠B∈0，π3.

評注上述解法很巧妙地利用了基本不等式.很多人認為這就是解決本類題目的“通解通法”，殊不知此法并不嚴謹.原因在于此法只考慮了cosB的下限，上限沒有確定.也就是說，根據題目的已知條件，cosB的上限是否一定是1呢？當然，我們可以從cosB=34a2+c22ac-14出發，cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，如果根據已知條件，得出ac的取值范圍，再利用函數的單調性，cosB的范圍就確定了，問題就迎刃而解了.

解析b=a+c2，不妨設a≤b≤c.

因為a，b，c是△ABC的三邊長，所以a+b>c，

故a+a+c2>c，整理得13

cosB=34×a2+c22ac-14=38×ac+ca-14.

令t=ac，則t∈13，1，

所以，y=cosB=38×t+1t-14，

當t∈13，1時，y′=38×1-1t2=38×t2-1t2≤0，

所以y=38t+1t-14在t∈13，1上是減函數，

所以cosB∈12，1，所以∠B∈0，π3.

評注通過推導，我們發現，cosB的上限確實是1.有些人會認為，這樣的考慮根本沒有必要.實際上，我們看了以下的變式，就知道，如此考慮是非常有必要的.

變式1已知在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊邊長分別是a，b，c，且a，b，c成等差數列，求∠B的取值范圍.

分析本變式與上題不同的地方是多了“銳角”兩個字.要保證△ABC是銳角三角形，只需要△ABC的三個角都是銳角，也就是三個角中最大的角是銳角即可.雖然還是考慮利用余弦定理求出cosB的范圍，但是不能單純地依賴基本不等式了.

解析因為a，b，c成等差數列，所以b=a+c2，不妨設a≤b≤c.因為a，b，c是銳角三角形ABC的三邊長，所以，a+b>c，1>cosC>0. 而cosC=a2+b2-c22ab，

所以a+a+c2>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c2<2ab， 整理得ac>35，

又a≤c，所以1≥ac>35，

cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac

=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，

令t=ac，則t∈35，1，

所以y=cosB=38t+1t-14，

當t∈35，1時，y′=38×1-1t2=38×t2-1t2≤0，

所以y=38t+1t-14在t∈35，1上是減函數，

所以cosB∈12，35，所以，∠B∈arccos35，π3.

評注本題如果不考慮cosB的上限，直接用基本不等式，那么本題就會出錯.也就是說，原來利用基本不等式的方法對變式1已經不適合了.利用函數單調性的解法才是真正的“通解通法”.

變式2已知在鈍角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊的邊長分別是a，b，c，且a，b，c成等差數列，求∠B的取值范圍.

答案∠B∈0，arccos35.過程留給讀者.

變式3已知在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊的邊長分別是a，b，c，且a，b，c成等比數列，求∠B的取值范圍.

解析因為a，b，c成等比數列，所以b2=ac，不妨設a≤b≤c.因為a，b，c是銳角三角形ABC的三邊長，

所以a+b>c，1>cosC>0. 而cosC=a2+b2-c22ab，

所以a+ac>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c2<2ab， 整理得ac>5-12，

又a≤c，所以1≥ac>5-12，

cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12a2+c2ac-12=12ac+ca-12，

令t=ac，則t∈5-12，1，

所以y=cosB=12t+1t-12，

當t∈35，1時，y′=12×1-1t2=12×t2-1t2≤0，

所以y=38t+1t-14在t∈5-12，1上是減函數，所以cosB∈12，5-12，所以∠B∈arccos5-12，π3.

例3設f（x）=1+ax1-ax（a>0且a≠1），當0

分析本題是2010年高考理科四川卷22題第（3）問.它考查了函數、不等式等基礎知識，是一道區分度很高的題目.參考書或者網絡上給出的解法是：

設a=11+p，則p≥1，1

當n=1時，|f（1）-1|=2p≤2<4，

當n≥2時，

設k≥2k∈N*時，則f（k）=（1+p）k+1（1+p）k-1=1+2（1+p）k-1=1+2C1kp+C2kp2+…+Ckkpk，

所以1

從而n-1<∑nk=2f（k）≤n-1+42-4n+1=n+1-4n+1

所以n<∑nk=1f（k）

綜上所述，總有∑nk=1f（k）-n<4.

評注這種構造a=11+p，然后利用二項式定理展開，從而放縮的證明方法很巧妙.這種技巧性非常強的證法很難想到，當然不是通解通法.其實，我們可以如此思考這道問題，從而給出適合本題的、更為通用的解法：

f（k）=1+ak1-ak=1+2ak1-ak，k∈N*

0

|f（1）-1|=2a1-a=21a-1≤2112-1=2<4，

當n=2時，|f（1）+f（2）-2|=2a1-a+2a21-a2=21a-1+21a2-1≤2112-1+21122-1=83<4，

于是，我們會猜測∑nk=1f（k）-n<4，接下來需要證明∑nk=1f（k）-n最大值小于4，或者∑nk=1f（k）-n上限小于或等于4即可.

事實上，∑nk=1f（k）-n=∑nk=12ak1-ak，而g（a）=2ak1-ak在a∈0，12上是增函數，故g（a）∈0，22k-1，從而∑nk=1f（k）-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1，關于∑nk=122k-1<4，在高三復習中，很多考生都會遇到并訓練過，這個不等式明顯是成立的.它的證明方法有很多種，有興趣的讀者可以自己去鉆研.這里只選比較常見的一種方法.于是有以下解法：

解析∑nk=122k-1=2∑nk=112k-1

=2∑nk=12k+1-1（2k-1）（2k+1-1）<2∑nk=12k+1（2k-1）（2k+1-1）

<4∑nk=112k-1-12k+1-1

=4×1-122-1+122-1-123-1+…+12n-1-12n+1-1

=4×（1-12n+1-1）<4，

g（a）=2ak1-ak在a∈0，12上是增函數，

故g（a）∈0，22k-1，

從而∑nk=1f（k）-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1<4.

評注如此的分析和解答，才是本題的常規解答方法，才是適合本題的“通解通法”.

總結在平時教學過程中，教師要盡可能地向學生講授“通解通法”.讓學生不僅僅學會一道題目，而是一類題目.教師不能過分依賴教學參考書，千萬不能人云亦云.教學參考書上給出的方法有些時候貌似是“通解通法”，實際上可能是有缺陷的.對例2而言，利用基本不等式的解法看似是“通解通法”，實際上是不完善的.文中給出的方法，利用的函數單調性，從而精準地確定cosB的取值范圍，進而確定∠B的取值范圍，這才是本類題目的“通解通法”.對例3來說，參考書或者網絡上給出的解法具有太強的技巧性，而本文提供的思路和方法是學生易于接受的，也是考生能夠“想得到，做得出”的.誠然，我們也需明白，沒有適合所有題型的通解通法，因為題目條件千變萬化，但我們對教學中、課堂上講的每一道題目，只有給予認真全面地思考，才能真正做到“授業解惑”，才能實現真正的高效教學.建設一個和諧，完美，高效的課堂，不正是每一名優秀教師所期待的嘛！

【參考文獻】

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[2]李建潮.函數問題的通法通解[J].中學生數學：高中版，2014（7）：26.

[3]孫娜.高中數學教學中“通解通法”能力的培養[J].高中數理化，2016（2）：5.