三角形解的個數與正余弦定理

張茜茜

【基金項目】本文章為黑龍江省重點科研課題《高中生數學核心素養培養策略研究》（XHZ135-123）的研究成果.

例在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a，b，A（A為銳角），討論三角形解的個數.

一、從正弦定理看多解取舍——數形結合解釋

解法1如圖1所示，過C點作CD⊥AB，垂足為D.

（1）若a

（2）若a=bsinA，則以C為圓心，a為半徑的圓與射線AB有一個交點，△ABC有一解;

（3）若bsinA

（4）若a≥b，則以C為圓心，a為半徑的圓與射線AB有一個交點，△ABC有一解.

二、從正弦定理看多解取舍——代數解釋

解法2在△ABC中，由正弦定理可得asinA=bsinB，可得sinB.

（1）若sinB>1則無解，對應圖2;

（2）若sinB=1則有1解，對應圖3;

（3）若0sinA，則有2解，對應圖4;

（4）若0

三、從余弦定理看多解取舍——正余弦定理的聯系

解法3在△ABC中，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc，此時三角形解的個數由c的個數決定，即等價于函數f（x）=x2-2bcosA+b2-a2的零點個數.Δ=4b2cos2A-4（b2-a2）=4a2-4b2sin2A.

（1）當方程f（x）=0無解時，Δ<0，即a

（2）當方程f（x）=0有一解時為bcosA，此時Δ=0，即a=bsinA，對應圖3的情形;所以方程有一解，則三角形有一解;

（3）當方程f（x）=0有兩不等正根時，Δ>0且x1+x2=2bcosA>0，x1x2=b2-a2>0， 即bsinA

（4）當方程f（x）=0有一個正根，有一個非正根時，Δ>0且x1+x2=2bcosA>0，x1x2=b2-a2≤0， 即a≥b時，對應圖5，所以正根可以作為△ABC的c邊，此時三角形有一解;

（5）由于x1+x2=2bcosA>0，故方程f（x）=0不存在兩根都非正的情形.

在已知條件為兩邊及一邊對角（銳角）的情況下如何判斷△ABC解的個數，多解情況出現的時候應該如何取舍一直是學生學習的難點，本文結合韋達定理分析了用余弦定理解三角形時應該如何取舍，同時將用余弦定理解三角形與圖形一一對應.本文的研究成果應用于教學中，有助于培養學生的“數學抽象”“邏輯推理”核心素養.