關于一道初中幾何試題的多種解法

唐小淋 任小清 何甜 楊婷

【摘要】幾何與圖形是初中階段四大板塊之一，在整體知識結構中有著舉足輕重的作用.本文主要對一道初中幾何試題的第一小問給出多種證明方法，從不同角度出發，有助于提升學生的發散性思維.

【關鍵詞】面積相等法;構造全等法;倍長線段法;翻折圖形法;三角函數法

幾何與圖形是中考命題的熱點內容之一，所占分值比重較大，盡管不同省份不同地區知識點比重分布不一，但幾何部分在中考中的比重幾乎占到30%到40%，可見幾何與圖形在初中階段的重要性.而關于幾何題的證明及其解法往往不止一種，但卻有一定的規律可循，因此，我們在平時的學習中，應善于總結發現一類題目的解題方法.同時，這也就要求我們教師平時在上課中應盡可能多地為學生提供不同的思路，這也有助于培養學生的發散性思維和創造性思維，激發學生對數學學習的興趣.

題目如圖1所示，已知△ABC中，AB=AC，點P是BC上一點，PN⊥AC于點N，PM⊥AB于點M，CG垂直AB于點G.CG，PM，PN之間有什么數量關系？證明你的猜想.

CG=PM+PN.

方法一面積相等法

證明（如圖2所示）連接AP.

∵S△ABC=12AB·CG.

同時，S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB·PM+12AC·PN.

∵AB=AC，∴S△ABC=12AB·CG=12AB（PM+PN），

∴CG=PM+PN.

方法二構造全等法

證明（如圖3所示）過點P向CG作垂線，垂足為點H.

∵PM⊥AB，CG⊥AB，PH⊥CG，

∴∠PMG=∠MGH=∠GHP=90°，

∴四邊形MGHP為矩形，MP=GH.

∵PH∥AB，∴∠HPC=∠ABC.

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

故∠HPC=∠NCP.

∵PH⊥CG，PN⊥AC，∴∠PHC=∠CNP=90°，

而PC=CP，∴△HPC≌△NCP（AAS），

∴PN=CH，因此，CG=PM+PN.

方法三倍長線段法

證明（如圖4所示）延長MP，使PQ=PN，連接CQ.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∵PM⊥AB，PN⊥AC，

∴∠PMB=∠PNC，

∴∠BPM=∠CPN.

又∵∠BPM=∠CPQ，

∴∠CPN=∠CPQ，

而PC=PC，PN=PQ，

∴△PNC≌△PQC（SAS），

∴∠PNC=∠PQC=90°.

又∵∠QMG=∠MGC=∠MQC=90°，

∴四邊形MQCG為矩形，∴MQ=CG.

因此，CG=PM+PN.

方法四翻折圖形法

證明（如圖5所示）將△PNC繞線段PC翻折得到△PRC，

∴△PNC≌△PRC，

∴PN=PR，∠NCP=∠RCP.

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠RCP，故CR∥MG.

∵PM⊥AB，CG⊥AB，∴PM∥CG，

∴∠BPM=∠BCG.

又∠BPM=∠CPN，而∠NPC=∠RPC，

∴∠BCG=∠RPC，∴PR∥CG.

∵PR∩PM=P，∴RM∥CG，∴四邊形MGCR為矩形.

∴MR=CG，∴CG=PM+PN.

方法五三角函數法

證明設BP=a，CP=b，∠ABC=α.

∵PM⊥AB，PN⊥AC，CG⊥AB，

∴∠PMB=∠PNC=∠BGC=90°.

在Rt△BMP中，PM=BP·sinα=a·sinα.

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACP=α.

在Rt△PNC中，PN=PC·sinα=b·sinα.

在Rt△BGC中，CG=BC·sinα=（a+b）·sinα，

∴CG=PM+PN.

以上給出了本題的五種證明方法，其實對此題還有其他的解法，例如，將方法三中的輔助線改為：延長MP，過點C向MP的延長線作垂線交于一點O，證明△PNC≌△POC即可.其實，對這類線段的和（差）問題證明的題目，有一個最基本的解法，就是可通過“截長補短法”來實現對線段數量關系的證明.在平時的教學中，教師應注意培養學生的求異思維，即一題多解的能力，可以引導學生從不同的角度、各種途徑探求解題方案，這樣既可展現學生的思維過程，增加教學透明度，又有利于拓寬學生的思維，增加學生思維的靈活性與廣闊性，激發學生的創新意識.同時，對解同一道題目，若選擇的思維起點不一樣，其解決問題的復雜程度也不一樣，因此，我們要善于引導學生去分析比較哪一種方法更具有優勢，并靈活調整，使學生學起來游刃有余.

【參考文獻】

[1]蔡斌.啟發學生思維突破初中幾何學習難點[J].北京教育學院學報（自然科學版），2014（4）：48-53.