牽線反比例，搭橋相似形

馮安同

問題引入如圖1所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上，點B坐標為（8，4）.點M是邊BC上的一個動點（不與B，C重合），反比例函數y=kx（k>0，x>0）的圖像經過點M且與邊AB交于點N，點M在運動的過程中，線段BM，BN，BC，BA四條線段有何比例關系？

探究1若M為BC的中點，點N是AB的中點嗎？

分析由點B坐標（8，4）及點M為邊BC的中點，易得點M坐標為（4，4），代入反比例函數關系式y=kx，求得 k=16.將N點橫坐標x=8代入y=16x得y=2，則點N（8，2）是邊AB的中點.

這時BMBC=BNBA=12.

探究2若BM=14BC，那么BN=14BA嗎？

分析由點B坐標（8，4）及BM=14BC，易得點M坐標為（6，4），代入反比例函數關系式y=kx，求得k=24.將N點橫坐標x=8代入y=24x得y=3，所以點N坐標是（8，3），所以BN=1，又因為AB=4，那么BN=14BA.

這時BMBC=BNBA=14.

由前面的探究我們知道：

① 當M是BC的中點時，點N是AB的中點，這時BMBC=BNBA，即BMBN=BCBA;

② 當BM=14BC，BN=14BA，同樣有BMBC=BNBA，也能得到BMBN=BCBA.

那么點M在運動的過程中，BMBN=BCBA具有普遍性嗎？

探究3在點M的運動過程中，試說明：BMBN=BCBA.

分析由y=kx及點M的縱坐標y=4，可得x=k4，所以BM=8-k4.同樣由y=kx及點N的橫坐標x=8，可得y=k8，所以BN=4-k8.

這樣BMBN=8-k44-k8=14（32-k）18（32-k）=2.

由于BCBA=84=2，這樣BMBN=BCBA.

結論通過探究3我們發現：點M在運動的過程中，存在BMBN=BCBA.

那么上述結論有什么作用呢？

例1如圖2所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上，點B坐標為（8，4）.點M是邊BC上的一個動點（不與B，C重合），反比例函數y=kx（k>0，x>0）的圖像經過點M且與邊AB交于點N，連接MN，AC，試證明MN∥AC.

分析由探究3的結論知道，在運動的過程中有BMBN=BCBA，又因為∠MBN=∠CBA，所以△MBN∽△CBA，所以∠BMN=∠BCA，從而證得MN∥AC.

例2如圖3所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上，點B坐標為（8，4）.點M是邊BC上的一個動點（不與B，C重合），反比例函數y=kx（k>0，x>0）的圖像經過點M且與邊AB交于點N，將△BMN沿MN折疊，點B恰好落在邊OA上的點G處，求此時反比例函數的解析式.

分析由探究3知，BMBN=BCBA=84=2，

過點M作MD⊥OA于D，

∴MD=OC=4，∠MDG=∠GAN=90°，

∴∠MGD+∠DMG=90°.

由折疊知，MG=MB，NG=NB，∠MGN=∠B=90°，

∴∠MGD+∠AGN=90°，

∴∠DMG=∠AGN.

∵∠MDG=∠GAN=90°，

∴△MDG∽△GAN，∴MDAG=MGGN=BMBN.

又∵BMBN=BCBA=2，∴4AG=2，∴AG=2.

設AN=a，則GN=BN=4-a.

在Rt△NAG中，NG2-AN2=AG2，

∴（4-a）2-a2=22，∴a=32，

∴點N坐標為8，32，∴k=8×32=12，

∴反比例函數解析式為y=12x.