利用切線法解不等式問題

張俊暢 楊柳忠

【摘要】本文介紹了利用切線法解不等式問題的各種類型和相應的求解方法，包括一些特定情況下的使用.

【關鍵詞】切線法;解不等式

在處理某些函數不等式的問題時，常常通過函數在某點處的切線來近似代替曲線，利用切線將曲線放縮成直線解決，這種辦法易學好懂，操作方便，本文就切線法在解不等式問題方面做些研究.

一、切線法的適用類型

引例已知a，b，c≥0，a+b+c=1，記T=4a+1+4b+1+4c+1，求證：T≤21.

分析我們試圖通過放縮將根號去掉，并且化為一次式，觀察式子的特點，由對稱性可知，我們只要找到適當的常數p，q滿足4a+1≤pa+q即可達到目的.考查T=4a+1+4b+1+4c+1的特點，結合T≤21，發現當a=b=c=13時取等號，從而不等式4a+1≤pa+q取等號，設f（a）=4a+1，g（a）=pa+q，因此，有f13=g13.另一方面，注意到g（a）=pa+q是直線函數，要使不等式成立，必使f（a）的圖像要在該直線的下方，這樣一來g（a）應該是f（a）在a=13處的切線.

解記f（a）=4a+1，則f（a）在a=13的切線g（a）=237a-13+73.

因為237a-13+732-（4a+1）2=421（3a-1）2≥0，所以4a+1≤237a-13+73.

同理對b，c也有類似的式子成立，三式相加得T≤237（a+b+c-1）+373=21，當a=b=c=13時取等號.

從上例不難歸納出“切線法解不等式問題”的求解模型與求解辦法：

（1）求解模型：對x1，x2，…，xn∈D，x1+x2+…+xn=k，D為給定區間，k為常數，求證：f（x1）+f（x2）+…+f（xn）≤（或≥）C.

（2）求解辦法：觀察發現，這個條件不等式，滿足兩個條件：① 當x1=x2=…=xn=kn時，特征不等式取等號;② 函數f（x）在x=kn處的切線函數g（x）=px+q滿足：f（x）≤（或≥）g（x）在區間D內恒成立.在這兩個條件滿足的情況下，可以使用切線法.解決步驟可以概括為：① 求函數f（x）在x=kn處的切線函數g（x）=px+q;② 證明f（x）≤（或≥）px+q;③ 類似得到其他不等式，并用不等式的同項可加性合并;④ 對x1+x2+…+xn=k進行代換，問題得證.需要說一下，切線法屬于試探性的方法，并非通用的完備方法，因此，在解題前要大概想想函數圖像，便于快速判斷函數圖像是否在切線的同側，如果不是，則需要考慮其他方法了.

二、幾種可以使用切線法的特殊情況

（一）對特征不等式進行構造轉化

有些不等式直接看上去并不滿足求解模型的條件，但對不等式做些等價變形后能夠滿足條件.

例1已知a，b，c≥0，a+b+c=3，求證：a+b+c≥ab+bc+ac.

證明a+b+c≥ab+bc+ac

a+b+c≥（a+b+c）2-a2-b2-c22.

從而只需證明：a2+2a+b2+2b+c2+2c≥9.

令f（x）=x2+2x，則f（x）在x=1處的切線為y=3x.

由基本不等式知：x2+x+x3≥3x2·x·x，

即x2+2x≥3x（當x=1時取等號）.

從而有a2+2a≥3a，b2+2b≥3b，c2+2c≥3c，

三式相加得：

a2+2a+b2+2b+c2+2c≥3（a+b+c）=9，

當a=b=c=1時取等號，故原不等式成立.

（二）推廣到割線

切線法中提到，當x1=x2=…=xn=kn時，特征不等式取等號時才可以繼續構造切線去放縮，然而有些時候雖然特征不等式完全對稱，但取等條件卻不一定在各元相等時取得，此時嘗試把切線推廣到過兩定點的割線，類似于切線法，我們仍然能夠把這類問題解決.

例2已知a，b，c≥0，a+b+c=1，記T=4a+1+4b+1+4c+1，求證：T≥5+2.

分析不難發現取等號的條件是a，b，c中兩個為0另一個為1，切線法失效，我們延續切線法的思想，仍然希望將各項放縮成直線函數g（x）=px+q，從而要滿足4x+1≥px+q，而且當x=0或1時取等號，因此，設f（x）=4x+1（0≤x≤1），則g（x）=px+q是過兩點（0，f（0）），（1，f（1））的直線y=（5-1）x+1.假如在由條件所限的區間內的圖像在該直線的上方，問題就有望得到解決，事實上想想圖像就知道這是顯然成立的.

證明設f（x）=4x+1（0≤x≤1），則過兩點（0，f（0）），（1，f（1））的直線為y=（5-1）x+1.

先證明4x+1≥（5-1）x+1在x∈[0，1]上恒成立.

由[4x+1]2-[（5-1）x+1]2=2（3-5）x（1-x）≥0可知4x+1≥（5-1）x+1成立，從而4a+1≥（5-1）a+1，4b+1≥（5-1）b+1，4c+1≥（5-1）c+1.

三式相加，得：4a+1+4b+1+4c+1≥（5-1）（a+b+c）+3=5+2.

當a，b，c兩個為0，另一個為1時取等號.

（三）局部使用切線法

有些時候雖然在整體上不能夠使用切線法，但在局部上使用切線法卻也能很好地解決問題.

例3已知a，b，c∈R+且a+b+b=1求證：b1+a+c1+b+a1+c≥34.

分析注意到此題的每一項都是二元函數，不符合切線法的求解模型，但如果將b1+a看作b·11+a而僅對11+a使用切線法，我們發現其函數是遞減且下凸的，所以其圖像在斜率為負的切線的上方，這樣放縮后將會出現一次項及負系數的ab項，而后者經三次求和后顯然可以由基本不等式再放縮到，（a+b+c）2，問題求解毫無懸念.

證明令f（x）=11+x（0

（四）模式之外，以直代曲

一些不等式不具有對稱性，也不滿足模式的條件，利用切線法直接把曲線放縮成直線也可以很快捷地解決問題.

例4已知x∈（0，1），證明：（e2-e2lnx+x）2ln2x+2lnx+2>e25.

證明原不等式等價于[elnx-1-e（lnx-1）]2>15（ln2x+2lnx+2）.

令t=lnx-1（t<0），則不等式等價于（et-et）2>15t2+45t+1，函數y=et-et在t=0處的切線為y=（1-e）t+1，易證et-et>（1-e）t+1，t<0.

因此，（et-et）2>[（1-e）t+1]2=（e-1）2t2-2（e-1）t+1，而當t<0時，（e-1）2t2>15t2，-2（e-1）t>45t.

因此，有（et-et）2>15t2+45t+1，從而原不等式成立.

由上可知，用切線法解決上面各種不等式的問題，簡練快捷，思路新穎，并且操作性也很強，在恰當的時候，有針對性的講授一下，也可拓寬他們的解題視野，從而挑戰更多不可能，作為教師，從提高解題方法的多樣性也非常值得進一步去研究和探索.