向量形式的角平分線及其應(yīng)用

李淼

【摘要】向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)和幾何的一種工具.本文用向量形式表示了角平分線的充要條件及角平分線的性質(zhì)，并給出了應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】向量;角平分線;性質(zhì)

性質(zhì)1點P在∠ABC的平分線上的充要條件是：

BP=kBA+BC|BA|+|BC|或?qū)懽鰾P·BA|BA|-BC|BC|=0.

事實上，由菱形的性質(zhì)容易得到.

性質(zhì)2三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例.如圖1所示，△ABC中，AD平分∠BAC，則ABAC=DBCD.

圖1

證法一設(shè)AD的單位垂直向量為e，則

ABAC=AB·eCA·e=（AD+DB）·e（CD+DA）·e=DB·eCD·e=DBCD.

證法二設(shè)BDDC=λ，則AD=DCBD·AB+BDBC·AC=DCDC+BD·AB+BDBD+DC·AC=11+BDDCAB+BDDC1+BDDC·AC=11+λAB+λ1+λ·AC.

又AD在∠BAC的平分線上，

所以AD=kAB|AB|+AC|AC|.

根據(jù)平面向量基本定理可得：

11+λ=k|AB|，λ1+λ=k|AC|，

兩式相除可得|AB||AC|=λ，所以DBCD=ABAC.

性質(zhì)3若AD是△ABC中∠A的平分線，由角平分線的性質(zhì)DBCD=ABAC，得

AD=AB+|AB||AC|·AC1+|AB||AC|=|AC|AB+|AB|AC|AB|+|AC|.

證明AD=DC·ABDC+BD+BD·ACBD+DC=DC·AB+BD·ACBD+DC=AB+BDDC·ACBDDC+1=AB+|AB||AC|·AC|AB||AC|+1=|AC|·AB+|AB|AC|AB|+|AC|.

例1如圖2所示，經(jīng)過∠XOY的平分線上一點A，任作一直線與OX與OY分別交于P和Q，求證：1OP+1OQ為定值.

圖2

證明過A作OA的垂線交OX和OY于R和S，則△ORS是等腰三角形，則：2OA=OR+OS=|OR||OP|·OP+|OS||OQ|·OQ，由于P，A，Q三點共線，因此|OR||OP|+|OS||OQ|=2，又因為|OR|=|OS|，所以1OP+1OQ=2OR.

例2在直角坐標系中，已知點A（0，1）和點B（-3，4），若點C在∠AOB的平分線上且|OC|=2，則OC=.

解析OC=λOA|OA|+OB|OB|

=λ（0，1）1+（-3，4）5=（0，λ）+-35λ，45λ

=-35λ，95λ，

|OC|2=925λ2+8125λ2=9025λ2=4，解得λ=103，

所以O(shè)C=-105，3105.

【參考文獻】

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