HPM視角下等差數列前n項和的教學設計

吳首飛 鐘芳 魏佳

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當反應數學的歷史、應用和發展趨勢……幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀.”[1]由此可見，數學史融入高中數學教學是數學課程改革的需要，也是培養學生數學文化素養的重要途徑.

然而由于高考的壓力以及一線教師對數學史知識缺乏足夠的了解，數學史鮮少出現在數學課堂.在眾多關于“等差數列前n項和”的教學設計中應用較多的是高斯巧算故事，但其中所蘊含的思想方法卻很少被學生真正領悟，以至于一段時間過后，學生對等差數列前n項和的公式模糊不清，甚至不知如何利用倒序相加法進行公式的推導.針對這些問題，筆者從HPM的角度，結合日常教學經驗對等差數列前n項和這一內容進行教學設計，以期取得更好的教學效果并滲透相關的思想方法.

一、教學設計意圖

數列是一個古老的話題，考查數列的歷史，可以發現等差數列是數學史上最早出現，并引起人們興趣的數列之一.在蘇格蘭埃及學家萊茵德于1858年購自埃及，時間屬于約公元前1650年的草紙上就載有等差數列問題.無獨有偶，在中國的古代文物或文獻中，相關內容也是十分豐富，如《周髀算經》《九章算術》《張丘建算經》等等.[2]其中蘊含著大量的數學史知識和歷史名題，因此，HPM視角下的教學設計可從這類問題入手.

（一）教材分析

數列在整個高中階段占有重要地位，也是高考常考知識點之一.本節課是等差數列前n項和的第一課時，是學生在學習等差數列的概念和性質后，對等差數列知識的進一步學習.

（二）學情分析

在學習本節課之前，高一學生已經掌握了函數、數列等知識，有了一定的數學基礎.但數列這一章涉及較多的思想方法，本節課學生的學習困難主要是倒序相加法求和的理解.

（三）教學任務

本節課的核心任務是從數學史的角度來創設不同的問題情境，引導學生理解倒序相加法，尤其是倒序求和思想方法的引導與啟發，并掌握求和公式及其推導過程.

教學目標：（1）掌握等差數列前n項和公式及公式的推導過程，會應用等差數列求和公式去解決一些簡單的實際問題.（2）經歷等差數列求和公式的發現、探究過程，體會倒序求和、數形結合、函數與方程、歸納類比等思想方法.（3）通過歷史名題，體會古人的思想智慧，再一次感受到數學來源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發現問題，并用數學知識解決問題.

教學重點：等差數列前n項和公式的掌握.

教學難點：等差數列前n項和公式的推導及其簡單應用.

二、教學過程設計

（一）課題引入

通過小學學習加法時經常會碰到的一個問題：“求1+2+3+…+100的和”，引出高斯巧算故事，明確本節課的學習內容.（結合多媒體課件向學生展示高斯算法）故事拋出的同時，盡可能多地引導學生體會故事背后的思想方法.當然，如果學生對高斯較為好奇，也可適當地介紹高斯的生平軼事.這樣不僅能激發學生對新授課的興趣，也向學生滲透了數學文化，更重要的是，在數學史故事中讓學生對倒序相加法有初步的感知.

（二）探究新知

探究1在公元5世紀的《張丘建算經》中有這樣一個問題：今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖.問織幾何？（通過學生讀題，將其轉化為等差數列求和的數學問題）

原書的解法是：“并初、末日織布數，半之，余以乘織訖日數，即得.”（引導學生思考書中這一解法背后的思想方法）

分析：假設另有一女善織，日益功疾，初日織一尺，末日織五尺，三十日織訖.則兩女織布數無異.

根據原書中假設的兩個情境，引導學生得出：

S30=a1+a2+a3+…+a28+a29+a30.

S30=a30+a29+a28+…+a3+a2+a1.

從而得到：S30=（a30+a1）2×30=（5+1）2×30.

設計意圖：揭示原書中所給出解法背后的思想方法.在此過程中一方面，能讓學生體會到古代數學家的智慧，另一方面，通過題中假設的兩個情境，能讓學生更加真實地體會倒序相加法求和的思想.

探究2如圖所示，建筑工地上有一堆圓木，從上到下每層的數目分別為1，2，3，…，10.問共有多少根圓木？如何用簡便的方法來計算？（結合多媒體課件進行動態演示）

設計意圖：通過圖形進一步直觀地說明倒序相加法，從數與形的角度啟發學生對這一思想方法的理解與掌握.

探究3等差數列{an}的首項為a1，公差為d，如何求等差數列前n項和？（鼓勵學生先獨立思考，然后在黑板上與學生一起完成公式的推導）

設計意圖：通過前面兩個探究活動，學生已經理解了倒序求和的思想方法.放手讓學生通過獨立思考，自己嘗試推導等差數列前n項和的公式，培養了學生觀察分析、獨立思考的能力.同時由特殊到一般，也培養了學生的抽象概括能力，符合學生的認知發展規律.

接著再通過課前準備好的數學史小閱讀，引發學生數學思考，體會數學文化的博大精深.

閱讀材料

數列的歷史源遠流長，在中國古代文獻中，記載了許多有趣的數列問題.出土的春秋至戰國時代楚國的銅環權，其重量大致都按等差或等比數列配置.等差數列求和問題最早見于約成書于公元前1世紀的《九章算術》，其中的衰分章、均輸章、盈不足章中就有許多關于等差數列的問題.值得我們驕傲的是，劉徽在《九章算術注》中創造了等差數列的求和公式和兩個通項公式.這一創舉比其他國家至少領先300年，可以說劉徽在中國數學史上的貢獻是空前巨大的！此外《孫子算經》《前漢書》《舊唐書》《張丘建算經》中也記載了很多有趣的數列問題，在公元5世紀的《張丘建算經》中通過了5個例子給出了求公差、總和、項數的一般步驟.[2]

探究4等差數列前n項和公式的幾何解釋

引導學生通過探究2可用圖形來解釋倒序相加法，思考并理解等差數列前n項和公式的幾何解釋，加深對求和公式的理解與記憶.

梯形的面積=（a1+an）·n2

梯形的面積=n（n-1）2d

設計意圖：結合梯形的面積公式，引導學生進行類比記憶，加深對公式的理解.

設計意圖：通過填表理解等差數列前n項和公式及通項公式中涉及5個基本量，利用已知量求未知量，這一環節的思想主要為方程思想和轉化思想.通過填表讓學生牢固掌握等差數列的相關公式的同時也學習相應的數學思想方法.

（三）新知應用

例1在我國古代，9是數字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含著許多與9相關的設計.例如，北京天壇圓丘的地面由扇環形的石板鋪成（如圖所示），最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈.請問：

（1）第9圈共有多少塊石板？

（2）前9圈一共有多少塊石板？

例2在新城大道一側A處，運來20棵新樹苗.一名工人從A處起沿大道一側路邊每隔10 m栽一棵樹苗，這名工人每次只能運一顆.要栽完這20棵樹苗，并返回A處，植樹工人共走了多少路程？

設計意圖：這兩道題目均選自北師大版教材的例題，主要是培養學生運用新知解決實際問題的能力.其中例1是以北京天壇圓丘為背景，在數學課堂中滲透了數學文化及中國傳統文化.例2主要讓學生體會到數學與生活的密切聯系，拉近了數學問題與實際生活的距離.

三、總結與反思

（一）公式教學重在揭示其本質

本節課是“等差數列前n項和公式”第一課時的教學設計，重點在于揭示求和公式背后的思想方法——倒序相加法.其教學設計是從HPM的角度來進行設計的，從情境到問題，從數到形，從具體到抽象，從特殊到一般，并在各個環節融入了不同的數學史知識.它不僅能幫助學生更好地理解數學，還能使學生在體會數學文化的同時理解倒序求和的思想方法.

（二）數學文化的滲透是潤物細無聲的

數學文化的滲透不是對數學史知識進行全盤照搬，也不是簡單地講幾個數學家的故事，而是對歷史的傳承與創新.雖然有些一線教師在課堂上會融入數學史，但只是匆匆帶過，對學生的數學文化素養幾乎起不到實質性的幫助.數學文化的滲透應該是潤物細無聲，不是輕描淡寫，更不是嘩眾取寵.

因此，有必要進一步開發HPM視角下的教學設計，為一線教學提供新的思路，讓數學史融入課堂變為可能.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]汪曉勤、韓祥臨.中學數學中的數學史[M].北京：科學出版社，2002：86-90.

[3]人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·必修5[M].北京：北京師范大學出版社，2014：15-19.

[4]王俊輝.基于數學史的等差數列前n項和教學設計[J].數學教學，2008（2）：43-45.

[5]丁益民.備課應重視教學設計的研究——以“等差數列前n項和（第1課時）”為例[J].中學數學教學參考，2015（10）：23-25.

[6]李孝誠，綦春霞.從“為創新而設計教學”到“為教學而設計創新”——“對等差數列前n項和”教學設計的反思與改進[J].數學教育學報，2012（2）：94-98.