二項式函數在組合式問題中的應用

張宇

【摘要】組合式求和與證明是組合數學中較為常見的問題，本文通過二項式函數的定義給出了5個運算性質，用于解決較復雜組合式求和與證明問題時，能使運算更加簡單明了.

【關鍵詞】二項式函數;性質;恒等式

首先我們引入二項式函數的定義：

f：C→{Ckn}，使對x∈C有f（x）=Ckn，

Ckn=f（x）=cont（1+x）nxk，

注：cont為constant的縮寫.

稱此函數f（x）為二項式函數.由二項式定理我們可以知道該函數的含義為多項式（1+x）nxk展開式中的常數項.

設p（x）=∑-∞

性質1cont（kp（x））=k·cont（p（x））.

性質2cont∑nk=1akpk（x）=∑nk=1akcont（pk（x））.

性質3cont（a+x）nxk=an-k·Ckn.

事實上，cont（a+x）nxk=Cknxkan-kxk=an-kCkn.

性質4contk（1+x）nxk=contn（1+x）n-1xk-1

=cont（n-k+1）（1+x）nxk-1.

事實上，k·Ckn=n·Ck-1n-1=（n-k+1）·Ck-1n.

性質5cont（1+x）nxk=cont（1+x）n-1xk+cont（1+x）n-1xk-1.

事實上，Ckn=Ckn-1+Ck-1n-1.

例1求∑nk=0k（Ckn）2的值.

解由二項式函數的性質可進行計算

∑nk=0k（Ckn）2=∑nk=0Ckncontk（1+x）nxk

=∑nk=0Ckncontn（1+x）n-1xk-1

=ncont（1+x）n-1∑nk=0Ckn·1xk-1

=n·cont（1+x）n-1∑nk=0Ckn1xk·x

（注：∑nk=0Ckn1xk=1+1xn二項式定理）

=n·contx（1+x）n-11+1xn

=n·contx（1+x）n-1（x+1）nxn

=n·cont（1+x）2n-1xn-1

=nCn-12n-1.

例2證明恒等式∑ki=0（-1）iCk-in=Ckn-1.

證明左邊=cont∑ki=0（-1）i（1+x）nxk-i

=cont∑ki=0（-1）ixi（1+x）nxk

=cont（1+x）n-1xk·∑ki=0（-1）ixi（1+x）

=cont（1+x）n-1xk·∑ki=0（-1）ixi+∑ki=0（-1）ixi+1

=cont（1+x）n-1xk·（x0+（-1）kxk-1）

=cont（1+x）n-1xk·（1+（-1）kxk+1）

=cont（1+x）n-1xk+cont（1+x）n-1·（-1）k·x

=cont（1+x）n-1xk+0（乘x后沒有常數項）

=Ckn-1.

通過上述的例題可以發現二項式函數在組合求值與證明恒等式中發揮的重要作用.

【參考文獻】

[1]曹汝成.組合數學（第二版）[M].廣州：華南理工大學出版社，2012.

[2]趙海霞，陳利霞，段雪峰.組合恒等式的證明方法[J].高等數學研究，2015.（4）：77-79.

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