二項(xiàng)式函數(shù)在組合式問題中的應(yīng)用

張宇

【摘要】組合式求和與證明是組合數(shù)學(xué)中較為常見的問題，本文通過二項(xiàng)式函數(shù)的定義給出了5個(gè)運(yùn)算性質(zhì)，用于解決較復(fù)雜組合式求和與證明問題時(shí)，能使運(yùn)算更加簡(jiǎn)單明了.

【關(guān)鍵詞】二項(xiàng)式函數(shù);性質(zhì);恒等式

首先我們引入二項(xiàng)式函數(shù)的定義：

f：C→{Ckn}，使對(duì)x∈C有f（x）=Ckn，

Ckn=f（x）=cont（1+x）nxk，

注：cont為constant的縮寫.

稱此函數(shù)f（x）為二項(xiàng)式函數(shù).由二項(xiàng)式定理我們可以知道該函數(shù)的含義為多項(xiàng)式（1+x）nxk展開式中的常數(shù)項(xiàng).

設(shè)p（x）=∑-∞

性質(zhì)1cont（kp（x））=k·cont（p（x））.

性質(zhì)2cont∑nk=1akpk（x）=∑nk=1akcont（pk（x））.

性質(zhì)3cont（a+x）nxk=an-k·Ckn.

事實(shí)上，cont（a+x）nxk=Cknxkan-kxk=an-kCkn.

性質(zhì)4contk（1+x）nxk=contn（1+x）n-1xk-1

=cont（n-k+1）（1+x）nxk-1.

事實(shí)上，k·Ckn=n·Ck-1n-1=（n-k+1）·Ck-1n.

性質(zhì)5cont（1+x）nxk=cont（1+x）n-1xk+cont（1+x）n-1xk-1.

事實(shí)上，Ckn=Ckn-1+Ck-1n-1.

例1求∑nk=0k（Ckn）2的值.

解由二項(xiàng)式函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行計(jì)算

∑nk=0k（Ckn）2=∑nk=0Ckncontk（1+x）nxk

=∑nk=0Ckncontn（1+x）n-1xk-1

=ncont（1+x）n-1∑nk=0Ckn·1xk-1

=n·cont（1+x）n-1∑nk=0Ckn1xk·x

（注：∑nk=0Ckn1xk=1+1xn二項(xiàng)式定理）

=n·contx（1+x）n-11+1xn

=n·contx（1+x）n-1（x+1）nxn

=n·cont（1+x）2n-1xn-1

=nCn-12n-1.

例2證明恒等式∑ki=0（-1）iCk-in=Ckn-1.

證明左邊=cont∑ki=0（-1）i（1+x）nxk-i

=cont∑ki=0（-1）ixi（1+x）nxk

=cont（1+x）n-1xk·∑ki=0（-1）ixi（1+x）

=cont（1+x）n-1xk·∑ki=0（-1）ixi+∑ki=0（-1）ixi+1

=cont（1+x）n-1xk·（x0+（-1）kxk-1）

=cont（1+x）n-1xk·（1+（-1）kxk+1）

=cont（1+x）n-1xk+cont（1+x）n-1·（-1）k·x

=cont（1+x）n-1xk+0（乘x后沒有常數(shù)項(xiàng)）

=Ckn-1.

通過上述的例題可以發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式函數(shù)在組合求值與證明恒等式中發(fā)揮的重要作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]曹汝成.組合數(shù)學(xué)（第二版）[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2012.

[2]趙海霞，陳利霞，段雪峰.組合恒等式的證明方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2015.（4）：77-79.

[3]薛展充.競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的組合恒等式[D].廣州：華南師范大學(xué)，2007.