學生向形式化證明轉變的困難研究

邵澤玲 李志國

【摘要】高等數學思維以其精確的數學定義和嚴格的邏輯演繹證明為特點，數學證明已經普遍成為中學向大學過渡期學生認知困難的重要因素.當前的大學數學課堂教學中，絕大部分學生對嚴格形式化的數學證明產生了恐懼.為幫助學生順利轉向高等數學思維，本研究在已有理論框架[1]下調查了學生在形式化證明認知上的困難，深刻剖析造成這種困難的根源，這將對大學數學教學改革有重要指導意義和現實意義.

【關鍵詞】高等數學思維;數學證明;概念使用;概念理解;過渡

一、引言

20世紀60年代的數學課程改革認為形式化證明是現代數學最重要的特征[2]，這種觀點毫無疑問是源于對數學基礎的澄清，由此產生的邏輯主義、形式主義和直覺主義三大學派盡管在數學哲學起源上存在很大差異，但都在一定程度上強調了形式證明的重要性，正是這一點極大地影響和促進了數學學科的發展.

盡管有許多的經驗研究已經強調了學生證明的困難，但是大部分是針對中學幾何課程，研究中學生在形式化證明方面的困難，卻很少涉及大學生.在已有的框架[1]中，學生個體證明主要是從數學語言與符號、概念理解以及證明三個方面開始進行原因分析，理論框架中的概念理解模式包含概念的三個方面：概念定義、概念表象和概念使用，而概念使用是指個體在創造或使用例子或證明過程中對概念的運作方式.文[3][4]中作者提出的“概念定義”和“概念表象”是概念理解的兩個方面，“概念表象”和“概念定義”相比較而言，概念表象缺乏表達數學思想的語言，沒有揭示出證明的邏輯結構，而概念定義不僅給出了證明思路同時也給證明書寫提供了語言即詞語和符號.

數學論證作為人的活動需要的不僅僅是對概念定義與邏輯過程的理解，而且還需要洞悉如何進行及為什么進行.數學定理的建立最主要的創造性工作不在于證明，而在于產生命題的猜想.許多數學家和數學教育家對“數學最重要的方面是演繹推理”“形式證明是數學的制高點”的說法產生懷疑.他們認為數學有比形式體系更多的東西，實際是承認“數學實踐”的現實性.著名的數學家和哲學家拉卡托斯[5]認為，數學在本質上是“可以錯誤的”，數學的發展是一個充滿“猜想、證明和反駁”的過程.他認為數學是假設演繹性的，他肯定非形式化的數學，目的在于試圖對數學知識的發生、數學知識的證明、數學知識的歷史和邏輯結構給出一個清晰的描述.Davis[6]認為數學證明可以扮演不同的角色，證明可以導致新的發現，證明可以是辯論的焦點，同時證明也有助于消除錯誤.

二、方法與結果

現在的大學數學課堂教學中，絕大部分學生對嚴格形式化的證明產生了恐懼.事實上，數學證明無論是在中學還是大學對學生思維發展來說都是一個極大的挑戰.數學推理通常用來指某些高等數學思維過程，這種嚴格的形式化的證明是屬于高等數學思維的范疇，Tall[2]指出高等數學思維包含了由描述到定義、由確信到證明的轉變，它的一個突出特點就是對精確概念定義和嚴格邏輯推理的突出強調.Selden[7]也指出高等數學思維就是“建立在正規定義上的嚴格邏輯演繹過程，而這個概念定義是無法通過我們的五官感知到的”.

研究把定義基礎上的演繹證明作為切入點，從定義產生證明的角度入手深入剖析學生證明困難根源.特別關注利用定義去構造數學證明的結構，同時關注概念定義中數學符號的使用，尤其是涉及謂詞邏輯時，要告知學生彼此間的邏輯關系，對證明有效性給出一些判斷規則等.研究中采用了問卷調查的方式來收集數據，針對極限的定義證明法進行問卷，了解學生對形式化證明的領悟程度，所有的任務要求學生在給出解答的同時給予解釋.研究對象是86名大學一年級計算機專業的學生，這些學生正在進行為期一年的高等數學的學習.

問卷中，計算機專業的這86名學生中有76名學生只能接受直觀、非形式化的證明.盡管有9名學生嘗試使用形式語言，可還是從直觀的角度來描述了證明過程.學生對極限的ε-N定義證明存在諸多的困惑，仍然有18名學生不能接受這個證明，從他們的描述中可以看到學生證明中的困難.談到與中學證明的不同時，學生列舉了下述幾種情況.

情況（Ⅰ）：他們認為和中學證明比較，極限證明更加嚴謹，過程更復雜，思維方式存在不同，大學證明似乎是在把簡單問題復雜化.

這類學生能認識到極限證明和中學存在不同，但是他們似乎并不接受極限的這個嚴格證明，認為很明顯的問題不需要證明.由此看來，他們根本無法理解這樣一個過程，對極限定義的理解還僅僅是直觀化水平.

情況（Ⅱ）：中學證明往往都是借助公理、定理或公式，直接由條件推出結論，論據充分而直觀.而極限證明是按照定義，由條件湊結論，似乎是在解釋，不像證明.

這類學生意識到極限的證明是利用定義來證明的，但是他們認為這樣純粹是湊結論，而不是真正意義上的證明.其實，這類學生并沒有從本質上理解極限的嚴格化定義，所以沒有找到證明極限的關鍵點，因此，無法由定義來產生證明的大體結構框架.

情況（Ⅲ）：中學證明都有確定的數值、字母或圖形.而極限證明則充滿了符號，感覺是在玩符號游戲，對ε的選取完全取決于個人意愿，放縮也具有隨意性，只要能湊出結果就可以，可信度不高.

這類學生期望在用定義給出證明的同時最好輔以其他的說明，比如，圖形或者數值等.事實上，他們無法單純依靠概念定義來獲得概念理解，總是希望發展更豐富的概念表象來幫助其更好地理解概念定義.

情況（Ⅳ）：中學證明有理有據，具體而存在.而極限證明看不見摸不到，虛無縹緲，就是硬搬教材模式，硬套證明書寫格式，根本不理解“任意”和“存在”的邏輯關系.

這類學生的困難在于無法搞清楚量詞的邏輯關系，他們認為只是一個格式而已，而且太抽象，根本無法在客觀世界中感知到.從本質上來講，這類學生還是沒能從真正意義上建構極限概念，沒有把動態的過程凝聚為對象.

綜合這幾類情況看，情況（Ⅲ）和（Ⅳ）學生的困難在于不能理解和使用符號語言，邏輯關系不清，從而導致極限證明的困難;情況（Ⅱ）學生的困難主要原因在于概念的理解上，該類學生似乎對概念定義有了一個較清晰的理解，處在一個概念定義的水平上，但是由于概念表象的不充分，從而導致在概念定義和概念表象之間產生了不協調，也就是沒能建立更好的表象來幫助其理解嚴格化的定義，當然也缺乏根據定義來建構證明的框架.情況（Ⅰ）學生僅僅是從直觀水平來理解極限定義的.

這個理論框架下的分析和Morre[1]的研究是相通的，在列出學生證明困難七個原因中談道：“無法開始一個證明是造成學生證明困難的重要原因之一，也就是學生根本不會想到利用定義可以證明命題，當然也不知道如何使用定理來獲得證明的全局結構.”

三、結論

要發展學生的高等數學思維，教師就要給學生提供發展的機會和平臺，讓學生在高等數學的學習過程中能真正理解數學，在掌握概念定義的基礎上能擁有豐富而充分的概念表象，同時讓數學證明成為大學數學課堂教學的重要工具.

APOS理論[8]認為如果能引導個體經過思維的操作、過程和對象幾個階段后，個體一般就能在建構、反思的基礎上形成認知圖式.這個理論實際是皮亞杰的數學學習“自反抽象”理論的一個擴展，“自反抽象”并非是關于物質對象的抽象，而是涉及對人類自身活動進行反思的結果.按照APOS理論，個體在處理數學情境時是通過使用某種心理機制形成認知結構的，然后才應用到具體數學情境中去.

事實上，極限概念本質上的困難主要在于它是按照未凝聚化的過程而定義的：“給我任意的一個ε，我將找到一個N使得…”，而不是一個概念即“存在一個函數f（ε）使得…”.對專家來說，這種未凝聚化的極限定義的邏輯形式是很難理解的，更不用說是初學者.按照APOS理論對極限概念的解釋，兩個關聯過程的圖式（x→a，f（x）→L）的重新建構得到過程，這個過程描述為當0<|x-a|<δ時，有|f（x）-L|<ε，下一步就是把這個過程凝聚為對象并且運用兩個量詞圖式（對所有的ε，存在δ），我們看到這個仍然是動態的，涉及過程，但是又和兩個關聯過程的動態圖式不同.首先，關聯的過程本身很困難，不是每名學生能迅速建構的;其次，有必要去很好地理解量詞，但是有證據也表明學生并不具備量詞觀念來處理形式化極限概念[9].

【參考文獻】

[1]Morre R C.Making the transition to formal proof[J].Educational Studies in Mathematics，1994（27）：249-266.

[2]Tall D.Advanced Mathematical Thinking[M].Dordrecht：Kluwer，1991.

[3]Vinner S.Concept definition，concept image and the notion of function[J].International Journal of Mathematics Education in Science and Technology，1983（14）：293-305.

[4]Vinner S，Dreyfus T.Images and definitions for the concept of function[J].Journal for Research in Mathematics Education，1989（20）：356-366.

[5]伊姆雷·拉卡托斯.證明與反駁—數學發現的邏輯[M].方剛，蘭釗，譯.上海：復旦大學出版社，2007.

[6]Davis P J.The nature of proof[C]∥Proceedings of the Fifth International Congress on Mathematical Education.Boston：Birkhauser，1986.

[7]Selden A，Selden J.Perspectives on advanced Mathematical Thinking[J].Mathematical thinking and learning，2005（1）：1-13.

[8]喬連全.APOS理論：一種建構主義的數學學習理論[J].全球教育展望，2001（3）：16-18.

[9]Dubinsky E d，Elterman F，Gong C.The students construction of quantification[J].For the Learning of Mathematics-An International Journal of Mathematics Education，1988（8）：44-51.