高等數學解題中微分中值定理的應用分析

姜銳武 唐靜

【摘要】微分中值定理具體包含三個定理，分別是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.三個定理其地位不同，其中拉格朗日中值定理是核心，羅爾中值定理是其特殊情況，柯西中值定理是其推廣，這三個定理共同組成了微分學的理論基礎.微分中值定理在數學學習和數學研究中具有重要作用，是最常用的數學工具之一，很多微分學應用都建立在微分中值定理上，隨著研究深入，其應用更加廣泛.本文主要介紹了微分中值定理在解題過程中的應用.

【關鍵詞】高等數學;解題;中值定理

微分中值定理具有重要地位，在數學學習和研究中是最常用的工具之一，其具體內容包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等一系列基本定理，在微分學中占有很重要的地位.很多微分學重要應用都建立在微分中值定理上，隨著研究深入，微分中值定理的應用也越來越廣泛.中值定理揭示了函數在某區間的整體性質和區間內某一點導數之間的關系，是聯系局部和整體的紐帶，是微分學應用以及自身發展的理論基礎，因此，中值定理是微分學的基本定理，它在數學中占有很重要的位置，本文主要介紹微分中值定理在解題中的一些應用.

微分中值定理是微分學的理論基礎，微分學的很多重要應用都建立在這個基礎上.微分中值定理常用來解決下列問題：判斷可導函數在給定區間內根的存在以及根的個數，求出與給定函數相應的中值公式，并證明可導函數的某些等式與不等式，證明可導函數在區間上（內）的某些整體性質，如單調性、有界性、一致連續性、零點以及其他一些性質.

一、微分中值定理在求極限中的應用

在求極限的題目里，有些題目如果運用一些通常的方法來求解，則會使我們在解題過程中出現很大的計算量，或者比較煩瑣的解題過程[1][2]，但是應用中值定理的話，會為這一類題目提供一種簡單有效的方法.而用中值定理來解題，最關鍵在于輔助函數的構造，然后再運用中值定理解題，即可求出極限.

如，求 limn→∞n2（a1n-a1n+1），其中a>0.

分析由于題目中有a1n和a1n+1，則可以試著構造輔助函數f（x）=ax，那么就可以得到f（x）在1n+1，1n上連續，在1n+1，1n可導，即可以利用Lagrange定理解題了.

解根據題意，由Lagrange定理，有

limn→∞n2（a1n-a1n+1）

=limn→∞n2（an′）|x=ξ×1n-1n+1

=limn→∞n2aξlnan（n+1）

=lna，

其中，ξ∈1n+1，1n.

二、微分中值定理在證明函數的連續性中的應用

若函數f在區間I上可導，且f′有界，則f在I上一致連續.

證明對任意x1，x2∈I，則由拉格朗日中值定理可知：

f（x1）-f（x2）=f′（ξ）·（x1-x2），x1<ξ

又f′在I上有界，所以存在L>0，對任意x∈I，有|f′（x）|≤L.

由此可得|f（x1）-f（x2）|<ε.

因此，對任意ε>0，取δ=εL>0，對任意x1，x2∈I，且|x1-x2|<δ，都有

|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|

這就證明了f在I是上一致連續.

三、利用微分中值定理解決含高階導數的中值問題

一般原理是：若有x0

如設f（1）=0，則存在ξ∈（0，π），使得

f″（ξ）+2f′（ξ）cotξ=f（ξ）.

證首先變換待證中值公式為

F″（ξ）=d2dξ2[f（ξ）sinξ]

=f″（ξ）sinξ+2f′（ξ）-f（ξ）sinξ=0，

其中F（x）=f（x）sinx.

顯然F（0）=F（1）=F（π），故用兩次羅爾中值定理得所要證.

三、小結

本文分析了在具體解題過程中應用微分中值定理的方法和具體步驟，為相關人員提供一定借鑒意義.微分中值定理在后續研究應用中其作用將進一步得到發揮，這是需要研究人員積極探索的方面.

【參考文獻】

[1]陳平，萬祥蘭.微分中值定理及其應用舉例[J].考試周刊，2016（A5）：66.

[2]魏建剛.微分中值定理及其應用[J].考試周刊，2017（56）：2.

[3]賀艷靜.微分中值定理中輔助函數的構造法與應用[J].數學學習與研究：教研版，2018（3）：5-6.