Brown運動增量局部重對數律的一個注記

莫永向

(桂林電子科技大學數學與計算科學學院,廣西高校數據分析與計算重點實驗室,廣西 桂林541004)

1.引言與主要結果

設{B(t);t≥0} 是d維標準Brown運動.C0[0,1]={f;f:[0,1]→Rd,f(0)=0,f連續}賦予一致范數‖f‖=sup lim0≤t≤1|f(t)|.設au,bu是兩個從(0,1) 到(0,e?1)非減連續函數,且滿足

(i) 0≤au≤bu,u∈(0,1)并且

定義映射I:C0→[0,∞]如下

記Kb={f∈C0[0,1],2I(f)≤b2},其中

對u∈(0,1),0≤t≤1,記?(t,u) 為下面軌道:

設

本文的主要結果如下:

定理1.1如果條件(i),(ii)和(iii)成立,那么以概率1,{βu?(t,u);u∈(0,1)}(u→0)在C0中相對緊,且其極限點集是Kb.即,

且

注1.1定理1.1的條件(iii)中r=∞即時,見文[5]的定理1.1.

推論1.1記Mt,h(x)=0≤x≤1,0≤t≤1?h,我們有

且

Brown運動及其增量的極限定理是一個廣泛研究的課題,已有許多成果.GAO等[1]研究了一致范數下Brown運動增量的泛函極限及其收斂速率.危啟才在[3]中得到了k維布朗運動C-R型增量在H?lder 范數下的泛函極限定理.對Brown運動局部極限定理人們也有研究,危啟才在文[4]中研究了Brown運動在H?lder范數下的泛函連續模.GAO等在文[5]中研究了一致范數下Brown運動增量的局部的泛函極限及其收斂速率.對0

2.定理的證明

定理的證明需要下面的Schilder大偏差.

引理2.1[2]對任何Borel集A?C0,

其中Λ(A)=inff∈A I(f).

定理1.1的證明當r=0時,b=0,Kb={0},顯然成立.因此,我們只需考慮0

由于01 且非減,故存在ρ∈[0,1],使得

若0<ρ≤1,則又由條件(i):知否則,與矛盾.于是,即r=0,此時,顯然成立.

所以,ρ=0,即,從而

證(1.1)式,我們首先證,存在一個趨于零的非增數列un,使得

記A1={f∈H:‖f?Kb‖≥ε}.顯然,A1是閉集,Λ(A1)故存在充分小δ >0,使Λ(A1)+δ.

記η:=δ?+rσ+δσ,則η >δ?δ(1+r)+rσ+δσ=rσ+δσ >0.取一個趨于零的非增數列un,使得bun=e?en,對任意小的ε>0,由(2.2)式和引理2.1,當n充分大時,我們有

由于

故(1.1)式成立.

再證(1.2)式.記ψt,u(s)=βu(B(t+aus)?B(t)),s∈[0,1],t∈[0,bu?au],則

由(2.1)式:limu→0+=∞,故可取一個趨于零的非增數列un,使得其中0

先估計I1.令kn=因為2 infg∈A2I(g)0,使得2 infg∈A2I(g)

令h(n)=那么h(n)單調非減,=r >0且又注意到0

于是,

又因為βu和log非增(u∈(0,e?1)),所以

又由于

并結合(2.6)式,我們又有

由(2.3),(2.4),(2.7)和(2.8)……