2-維Ginzburg-Landau方程的一種混合有限元方法的高精度分析

李慶富,王俊俊

( 平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 平頂山467000)

1.引言

考慮如下2維Ginzburg-Landau方程：

其中? ?R2是一個(gè)邊界為??的矩形,0

非線性Ginzburg-Landau方程的有限元方法被很多學(xué)者專家所關(guān)注.例如,文[1-2]研究了一個(gè)非線性耦合形式的Ginzburg-Landau方程,其中文[1]研究了其半離散和隱式Euler全離散格式,文[2]提出了一種線性化的CN格式,二者都得到了最優(yōu)誤差估計(jì).文[3]給出了(1.1)有限差分的收斂結(jié)果,避開了數(shù)值解的估計(jì),利用數(shù)學(xué)歸納法證明了其格式在L2(?)-模下的誤差估計(jì).文[4]針對(duì)(1.1)給出了三種線性化的差分格式,接著研究了該方程的平面波解,并得到了三個(gè)格式的截?cái)嗾`差.

混合有限元方法雖然對(duì)空間要求光滑度較低,并能同時(shí)得到原始變量和中間變量數(shù)值解等優(yōu)勢(shì),但需要滿足所謂的LBB條件,這通常不是一件容易的事.為了降低空間選取的難度,文[5]對(duì)二階橢圓問題提出了另一種混合元格式.較傳統(tǒng)的混合元格式具有以下特點(diǎn)：當(dāng)空間滿足一個(gè)簡單的包含關(guān)系時(shí)離散的LBB條件自動(dòng)滿足,自由度少且可避免對(duì)矢量有限空間的試探函數(shù)進(jìn)行散度運(yùn)算等.因此,該格式已被廣泛應(yīng)用在各種方程中[6?10].

本文借用文[5-10]的思想,使用五節(jié)點(diǎn)元[11?12]及零階Raviart-Thomas元討論了2-維Ginzburg-Landau方程的一種新混合有限元方法.首先給出其半離散的有限元格式,證明了其解的存在唯一性,利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移等技巧得到了其在半離散下的超逼近結(jié)果.其次,給出了其一個(gè)線性化的Euler格式,有技巧的導(dǎo)出了原始變量u在H1模意義下及流量在L2模意義下的O(h2+τ2)階的超逼近性質(zhì).最后利用一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了理論結(jié)果.

2.單元介紹

令?是一個(gè)矩形,Γh是?的一個(gè)正則剖分.對(duì)于一個(gè)給定的Kh∈Γh,記四個(gè)頂點(diǎn)和四條邊分別為ai,i=1～4 和li=i=1～4 (mod 4).相對(duì)應(yīng)的有限元空間分別定義為Vh和：

其中,Qij=span{xrys,0≤r≤i,0≤s≤j}.[vh]表示跨過單元邊界F的跳躍值,當(dāng)F ???時(shí),容易驗(yàn)證,是Vh上的模.對(duì)于u∈H1(?),(H1(?))2,設(shè)Ih:H1(?)→Vh和Πh:(H1(?))2分別為由Vh和上誘導(dǎo)的插值算子,滿足:Ih|K=IK,Πh|K=ΠK及

和

其中是對(duì)應(yīng)邊li(i=1,2,3,4)的單位外法向量.有以下引理：.

引理2.1[12]對(duì)于任意的(H2(?))2,有

令=?u,則(1.1) 相對(duì)應(yīng)的弱形式是尋找使得

3.半離散超逼近結(jié)果

定理3.1問題(3.1) 存在唯一解.

證設(shè)和分別為Vh和上的基,則有

其中

由于B是正定矩陣,則對(duì)t∈(0,T],(3.1) 存在唯一解.

令

假設(shè)(?)‖uh‖0,∞<1.

定理3.2令u和uh分別為(1.1) 和(3.1) 的解,若u∈H3(?),(H2(?))2,我們有

證由(3.1)和(1.1)我們有誤差方程：

將其改寫為

在(3.6)的第一式中令=?ξt,在第二式中令vh=ξt,兩式相加,取其實(shí)部有

顯然有

由假設(shè)得到

利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移以及文[12]的結(jié)論有

綜合以上誤差,代入(3.7)有

由于ξ(0)=0,兩端關(guān)于t從0 到t做積分有

利用Gronwall不等式得到

則有

在(3.6)中令=

也即

最后需要說明先驗(yàn)假設(shè)(?)的正確性.首先,記δ(t)?(u(t)?uh(t)).有初始逼近和插值理論可知‖δ(0)‖0,∞<1成立.由函數(shù)的連續(xù)性,在t=0的一個(gè)小領(lǐng)域[0,ε]內(nèi),定理3.2成立.

如果假設(shè)不再整個(gè)區(qū)間I=[0,T]上成立,設(shè)t0=inf{t:‖δ(t)‖0,∞≥1,t∈I},則有‖δ(t0)‖0,∞=1,t0>0(事實(shí)上,若‖δ(t0)‖0,∞>1,由函數(shù)的連續(xù)性,總可以找到一個(gè)點(diǎn)t1

由定理3.2的證明過程可以看出其結(jié)論在[0,t0]處成立,則由逆不等式,對(duì)于充分小的h,有‖δ(t)‖0,∞≤‖?(u(t)?Ihu(t))‖0,∞+‖?(Ihu(t)?uh(t))‖0,∞≤Ch‖u‖2,∞+Ch?1‖?(Ihu(t)?uh(t))‖0≤Ch,t∈[0,t0].選擇適當(dāng)?shù)膆0,當(dāng)h≤h0,有‖δ(t)‖0,∞≤Ch <1,t∈[0,t0].此與‖δ(t0)‖0,∞=1矛盾.所以先驗(yàn)假設(shè)(?)是正確的.

注3.1由于(3.7)左端沒有關(guān)于‖ξt‖h的項(xiàng)存在,則在估計(jì)項(xiàng)ξt的時(shí)候,對(duì)(3.10)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移,將關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)從ξ上轉(zhuǎn)移到上,最終得到關(guān)于‖ξ‖h的估計(jì).

4.線性化逼近格式

令{tn:tn=nτ;0≤n≤N}是[0,T]上的均勻剖分,時(shí)間步長是τ=T/N,記σn=σ(X,tn),0≤n≤N,定義：利用[14]線性化的有限元方法,尋找使得當(dāng)n≥1 時(shí),有

令

定理4.1設(shè)和分別為(1.1)和(4.1)的解,對(duì)任意的m=1,2,...,N,若um∈H3(?),(H2(?))2,有

證得到誤差方程

顯然有

由文[13]的高精度結(jié)果可以看到

又由于

則有

也就是

另一方面,在(4.4)的第一個(gè)式子中,選取=有

因此,存在τ1,h1,C1,使得當(dāng)τ≤τ1,有

由條件τ=O(h2)得到

其中h≤h2≤1/CC2.

假設(shè)(4.3)對(duì)于m≤n?1成立,由于τ=O(h2),則存在h3,有

其中h≤h3=1/CC0.

下面我們證明結(jié)果對(duì)于m=n也成立.由(1.1)和(4.1),

將其變形后有

類似ξ1的證明有

改寫B(tài)4,再估計(jì)有

總結(jié)以上的誤差結(jié)果,對(duì)(4.8)從2到n求和,則有

利用離散的Gronwall不等式,有

又由于令=

則存在τ4,h5,C4,使得當(dāng)τ≤τ4有

由條件τ=O(h2),也有

其中h≤h5≤1/CC4.可以看到C4和沒有任何關(guān)系,當(dāng)取和則(4.15) 對(duì)m=n成立.至此數(shù)學(xué)歸納法結(jié)束,定理證畢.

注4.1由于文中采用了線性化的全離散格式,當(dāng)時(shí)時(shí)刻的時(shí)間層分析需要用到上一時(shí)刻時(shí)間層的結(jié)論,因此選擇數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.為了每一個(gè)時(shí)間層的結(jié)果到最后都應(yīng)該由一個(gè)統(tǒng)一的系數(shù)來控制,在證明第n層結(jié)果時(shí),需要利用(4.7),而不能直接利用帶有C0的歸納假設(shè)結(jié)果.

注4.2由于(4.8)左端沒有關(guān)于的項(xiàng),則對(duì)于B3來說,直接估計(jì)就會(huì)降低最后結(jié)果的階,利用一個(gè)分列技巧將τ從內(nèi)積的一端轉(zhuǎn)向另一端,回避出現(xiàn)項(xiàng),從而得到最后結(jié)果.

5.數(shù)值算例

在這一章里,給出一個(gè)算例來驗(yàn)證理論部分.考慮(1.1),其中,?=[0,1]×[0,1],a1=a2=b1=b2=1,真解為u=etxy(1?x)(1?y).在表格5.1-5.8中,選擇τ=5h時(shí)刻t=0.25,0.5,0.75,1.0 來分別驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果.可以看到當(dāng)h→0時(shí),有最優(yōu)估計(jì)階O(h),最優(yōu)估計(jì)階O(h2),可以看到所有結(jié)果驗(yàn)證了前面理論部分.

表5.1 數(shù)值解Unh 在t=0.25的結(jié)果

表5.2 數(shù)值解Unh 在t=0.5的結(jié)果

表5.3 數(shù)值解Unh 在t=0.75的結(jié)果

表5.4 數(shù)值解Unh 在t=1.0的結(jié)果

表5.5 數(shù)值解在t=0.25的結(jié)果

表5.5 數(shù)值解在t=0.25的結(jié)果

m×mpn?Pnh ‖H(div;?) 階 ‖Πhimages/BZ_89_748_1642_782_1686.pngn?Pnh ‖0 階4×4 0.03378079483080 — 0.00748816766348 —8×8 0.01698575787882 0.9919 0.00191969829692 1.9637 16×16 0.00850227630890 0.9984 0.00048302136361 1.9907

表5.6 數(shù)值解 在t=0.5的結(jié)果

表5.6 數(shù)值解 在t=0.5的結(jié)果

m×m ‖pn?Pnh ‖H(div;?) 階 ‖Πhimages/BZ_89_748_1642_782_1686.pngn?Pnh ‖0 階4×4 0.03376858013758 — 0.00743287024398 —8×8 0.01698605210408 0.9913 0.00192229990270 1.9511 16×16 0.00850236919353 0.9984 0.00048465359581 1.9878

表5.7 數(shù)值解在t=0.75的結(jié)果

表5.7 數(shù)值解在t=0.75的結(jié)果

m×m ‖pn?Pnh ‖H(div;?) 階 ‖Πhimages/BZ_89_748_1642_782_1686.pngn?Pnh ‖0 階4×4 0.03376851491266 — 0.00743257391232 —8×8 0.01698603311508 0.9913 0.00192213210266 1.9512 16×16 0.00850236757636 0.9984 0.00048462522470 1.9878

表5.8 數(shù)值解在t=1.0的結(jié)果

表5.8 數(shù)值解在t=1.0的結(jié)果

m×m ‖pn?Pnh ‖H(div;?) 階 ‖Πhimages/BZ_89_748_1642_782_1686.pngn?Pnh ‖0 階4×4 0.03376851775874 — 0.00743258684292 —8×8 0.01698603303400 0.9913 0.00192213138609 1.9512 16×16 0.00850236755676 0.9984 0.00048462488080 1.9878