耗散Boussinesq方程弱解的爆破

蘇曉,王書彬,宋瑞麗

(1.河南工業大學理學院,河南 鄭州450001;2.鄭州大學數學與統計學院,河南 鄭州450001;3.中原工學院信息商務學院,河南 鄭州450007)

1.引言

本文研究下列初邊值問題

的弱解在有限時間發生爆破的充分必要條件及爆破時間的下界估計,其中?是Rn中具有光滑邊界的有界區域,??是?的邊界,f(u)=|u|p?1u,1

?βλ1,λ1>0是??在Dirichlet邊界條件下的第一特征值,下標t表示對t的偏導數．

1872年Boussinesq[1]提出一類描述淺水長波的方程

并給出了方程(1.4)的某些特殊孤立波．1974年Zakharov[13]提出方程(1.4)的另一種形式

用來描述非線性弦振動.方程(1.4)和(1.5)被后人稱為Boussinesq(Bq)方程．Bq方程的提出第一次對Russel提出的孤立波現象[8]做出了科學的滿意的解釋[2].Bq方程是經典線性波方程的擾動形式,結合了非線性和色散的基本思想,這也是許多水波模型的特點．此后Bq方程得到了廣泛的研究應用和推廣,從不同形式的非線性項的角度出發提出了廣義Bq方程

Bq方程及其廣義形式的定解問題得到了廣泛的研究,并取得了豐富的研究結果,這些結果主要集中在初值問題和初邊值問題弱解和強解的整體適定性、有限時間爆破及解的長時間行為.1988年Bona和Sachs[2]研究了方程(1.6)的初值問題．作者使用擬線性發展方程的Kato理論證明了問題的局部適定性,并進一步證明了古典解的存在性.1993年Linares[4]研究了方程(1.6)的初值問題,其中非線性項為f(u)=|u|αu．通過建立相應的線性問題解的光滑效應(Lp-Lq估計或Strichartz 估計)結合壓縮映像原理討論了低正則局部解,通過建立能量等式進一步證明了當初……