(2+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程的留數對稱及其相互作用解

葛楠楠,任曉靜

(西北大學數學學院,陜西 西安710127)

1.引言

非線性演化方程及其精確解在物理、自然科學等領域有著極其重要的作用.在過去的幾十年里,數學和物理領域在該方面取得了極大的進步.我們知道,對稱群理論和Painlevé分析理論是發現和解決非線性演化方程的兩大重要方法.在可積系統中,目前獲取非局域對稱的方法主要有遞推算子法、逆遞推算子法、Darboux 變換法、B?cklund變換法、截斷的Painlevé分析方法、M?bious變換法等[1?4].許多方程的相互作用解可以由非局域對稱得到.最近,樓森岳教授發現在做非局域對稱的Painlevé截斷展開時發現,奇異流形的留數是一個非局域對稱,稱之為留數對稱.而且,樓森岳教授通過Painlevé截斷展開方法提出了相容的Riccati展式方法(CRE),該方法可以用來證明方程的CRE可解性,并根據此性質構造方程的新的相互作用解.盡管并不是所有的可積系統都是CRE 可解的,但是所有的CRE 可解方程都是可積的.CRE方法可以用于求解Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程、sine-Gordon方程、Korteweg-de Vries(KdV)方程、非線性Schr?dinger 方程等[5?17].

本文主要研究(2+1)維Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程

的非局域留數對稱和CRE可解性及CTE可解性,并根據此性質構造(2+1)維KP方程的新的相互作用解.

2.非局域留數對稱及其局域化

(2+1)維KP方程的Painlevé截斷展開式可表示為如下的形式:

則

同時?滿足下面的Schwarzian形式:

Schwarzian形式在下面的M?bious變換

下保持不變,即方程(2.4)容許三個對稱σ?=d1,σ?=d2?,σ?=d3?2,其中d1,d2,d3是任意常數.將表達式(2.1)代入方程(1.1)我們將得到下面的B?cklund變換定理.

定理1(B?cklund變換定理) 如果?滿足方程(2.4),則

是方程(1.1)關于?和解u間的一個B?cklund變換,當?和u滿足B?cklund變……