“一題多解”在幾何學習中的體現淺談

熊考慶

摘 要 中考復習期間，我們在梳理《圓》這一章的作業題時，發現了許多題型都有一些共同之處——以三角形作為基本圖形載體進行題型的變化。就此，我準備了一次教學展示課，課題是《圓背景下求線段的長度》。

關鍵詞 一題多解;幾何學習;體現;反思

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）28-0181-01

課前，我設置了一道前測題，設計與課堂內容相關的、可以為教學目標作鋪墊的測試題目，目的是為了讓學生熟練和歸納一些使得教學目標達成所需要的數學思想及方法，更有效地幫助學生在課堂上達成本節課的學習目標。并且，在設計前測時，需要注意題目要有可選擇性、符合課堂需要、難易程度適中、學生可操作性等要點。

一、“一題多解”幾何圖形的規律和解題方法的多樣性

在進行幾何教學時，要突出“一題多解”對學生思維的碰撞，讓學生進一步體會幾何圖形的規律性和解題方法的多樣性。本節課在實現“一題多解”過程中，以三角形作為基本圖形載體，在三角形的基礎上進行拓展和變化。并要讓學生確信，不管題型如何改變、幾何圖形如何變化，都應該抓住三角形這一基本圖形載體，理解等腰三角形的對稱性，最終問題都可以逐一解決。

課堂前測：已知如圖1，在△ABC中，AB=AC。以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、點E，連接EB交OD于點F.（1）求證：OD⊥BE;（2）若AB=5，，求AE的長。

合作學習：已知如圖2，AB是半圓O的直徑，點C是弧BD的中點，且AB=5，若AD=3，試求線段AC的長。（你還有其它方法來求解嗎？）

反思一：幾何學習中的“一題多解”，源于以不同的視角看問題。

在課堂前測中，如果學生將要證明的兩條線段理解為圓中的半徑和弦，那么容易發現本題的關鍵即是要證明出弧DE=弧DB。于是部分學生想到了要先利用圓心角定理去證明兩條弦對應的弧相等，繼而又產生了不同的方法：通過“等腰三角形三線合一”結合“圓內接四邊形的外角等于內對角”加以證明;或者通過“等腰三角形三線合一”結合“斜中線定理”加以證明;甚至是添加輔助線后通過圓周角定理的推論加以證明等等。

但看待問題的角度不同，所思考的方向也會有所不同！如果學生對本題的理解是要去證明兩條線段的夾角為90°，那么要實現這一目標，比較直接的方法是證明AC∥OD，而證明兩直線平行的方法又是多種多樣！

又如在合作學習中，學生可將條件“點C是弧BD的中點”與垂徑定理聯系在一起;也可將其與等腰三角形的對稱性聯系在一起;甚至還可聯想到將圖中半圓補全成一個整圓，再結合垂徑定理來解決。課后學生還發現了構造全等三角形的方法來解決問題，這讓我很意外。

反思二：如何在數學課堂中進行引導提問？

一千個讀者，就有一千個哈姆雷特。每個學生對問題的理解是有區別的，老師在課堂上的問題究竟是應該指向明確？還是應該開放化一些？

在合作學習中，我的提問其實是指向性比較明確的：環節一是讓學生將條件“點C是弧BD的中點”與垂徑定理聯系起來;環節二是提示學生把合作學習與課堂前測中的兩張圖形進行對比，發現和體會等腰三角形的對稱性;環節三是繼續對比圖形，從半圓和整圓的角度去解決問題。這樣設計的目的是希望學生按照老師引導的方向去進行思維的發散，順利找到解決問題的方法。但這種教學方法似乎顯得有些局限，把學生的思維局限于教師的提前預設當中，不太利于學生形成自己的思維。如果能像前測部分讓他們自由思考發揮，多一些開放，更能激活學生對問題思考的欲望和興趣。

但最后課堂達成的效果還是可觀的，在每個環節設置的框架下，學生按部就班地思考，也提出了一些新穎的方法。在教學當中，不論是指向性的問題，還是開放性的元素，只要能夠讓學生在一堂數學課堂中有新的體驗和感悟，我認為就是有效的教學。

反思三：輔助線的添加在幾何學習中的重要性。

平面幾何解題過程中經常會使用到輔助線的添加，目的是為了揭露一些隱含在題設中的條件，或者是將原圖中的一些信息進行聯系和集中，從而轉化成對解題有幫助的新圖形。

在合作學習中，由于我們對題設理解的不同，所添加的輔助線也是有所不同的。環節一中，我們按照垂徑定理中所蘊含的基本圖形進行輔助線的添加，將條件凸顯出來;環節二和環節三中，我們將圖形直觀化，轉化為我們所熟悉的圖形——等腰三角形和圓，利用其對稱性，達到將問題簡單化的目的。這些添加輔助線的方法需要在平時的教學過程中潛移默化地讓學生去掌握，遇到具體問題要具體分析。

數學教學如果要有成效，老師需要關注教學流程中的每個環節，讓學生充分經歷知識的發生和形成的過程。在學生嘗試解決問題的時候，要適時適度地引導他們去展開思考，激發他們的數學思維;在分析講解問題以及開展合作學習的活動時，要多去捕捉一些可以讓大家產生共鳴的點，并適當增加一些課堂開放性元素，促使課堂交流更加有效;在學生對一堂課所學內容有了一定程度的體驗和領悟時，要善于歸納、總結和反思，幫助學生形成知識方法系統，更加清晰地理解數學實質，實現知識與方法的正向遷移。

參考文獻：

[1]李洪明.如何有效開展初中數學幾何教學[J].科學大眾（科學教育），2019（05）.