淺談求不定積分的第一換元積分法

楊付貴

摘 要：在微積分中，已知函數需要求它的導數或微分。而在實際應用中，大多數情況是已知函數需要求它的積分，即微分法的逆運算——積分。由于在積分學中，不定積分是定積分、重積分、曲線積分和曲面積分的基礎，因此，學好不定積分十分重要。然而，在學習不定積分過程中發現，不定積分不像求導數或微分那樣直觀和“有章可循”。不定積分看似形式多樣，變幻莫測，但并不是毫無解題規律可言。在教學中，如何采用簡單可行的方法，本文根據自己多年來在教學和學習過程中經驗和體會，對不定積分的第一換元積分法的解法首先做了簡介，然后進行歸納和總結。為讀者在學習不定積分的第一換元積分法時提供思路。文中如有錯誤之處，望讀者批評指正。

關鍵詞：不定積分；換元法；湊微分法。

不定積分的換元積分法分為第一換元法（湊微分法）、第二換元法兩種基本方法。而在解題過程中我們更加關注的是什么時候使用第一換元法，什么情況下使用第二換元法，以及如何換元，通常情況下一種好的換元方法會讓題目的解答變得簡便。由于不定積分的第一換元積分法（湊微分法）是不定積分學中的一類非常重要的、基本的計算積分的方法。也是不定積分中的一個重點和難點。學生們在學習（或復習）不定積分的第一換元法（湊微分法）法時，對其使用并不熟練，特別是對于普通高校文科的學生以及民辦高校的學生，用第一換元法（湊微分法）解題的技巧表現得更生硬，他們不知道什么時候用不定積分的第一換元積分法（湊微分法），如何換元，以及怎樣才能夠更加熟悉，掌握，應用第一換元積分法。下面我結合自己近四十年，在各高校講授高等數學的經驗和體會，談一下第一換元積分法（湊微分法）的基本思想，然后通過舉例，詳細介紹不定積分第一換元積分法的求解方法及使用要點與技巧。最后進行歸納，總結。僅供大學生學習不定積分的第一換元積分法（湊微分法）時參考。

一.第一換元法（湊微分法）的基本思想

第一換元積分法也稱為湊微分法。它是求不定積分的一種非常重要的方法，對于給定的 直接積分比較困難，而積分 較容易積分，使用第一換元法關鍵是想辦法從被積表達式中湊出一個積分變量，將所給積分變成一個外函數 易積，內函數 可微的積分，也就是說從被積函數分g（x）中分離出一個因子 ，即 使 和 湊成某函數的微分 ， 然后，令 ，則有

而積分 或是基本積分表中的某一形式，或可以用其它積分法容易求得，最后再變量還原（當然，這里也可以不用引進中間變量u，而直接將

看成中間變量即可 ）。從而求得原不定積分。所以，第一換元積分法也稱為湊微分法。因此，要掌握第一換元積分法，就必須十分熟悉基本積分公式表，知道什么樣的積分事基本積分公式表中有的，什么樣的積分是基本積分公式表中沒有的，只有這樣，才能將所給的積分湊成積分基本積分公式表中的某一種形式。

二.第一換元法（湊微分法）的積分舉例

例1：求

解：顯然，用直接積分法求解很麻煩，需要將被積函數利用二項式展開成101項，然后利用不定積分的性質，對這101項函數分別積分，這樣做非常麻煩。那么，我們能不能把積分 湊出基本積分公式表中的某一形式呢？我們不妨試試看。由于 形式上和基本積分公式表中的 很相似，所以，我們不妨試著向積分 的方向湊。由于

，所以 （令 ）

，這樣

到此積分做完了嗎？由于原來的積分變量是 x ，現在為u，務必要變量還原。將 代入，最后得到：

注1：使用不定積分的第一換元法（湊微分法），最后結果中，一定要將變量還原。

注2：對第一換元法較熟練后，也可以不用引進中間變量 u ，而直接將 看成中間變量即可。

例2：求

解：顯然直接積分很困難，那么能否用第一換元積分法呢？如果能用，又如何湊微分呢？

我們不妨試試看。由于 ，所以

，從而有

例3：求

解：顯然直接積分不行，那么能否用第一換元積分法呢？如果能用，又如何湊微分呢？

我們一定會想到積分公式 而這里有點不同的是a2 與1不同，因此，我們想辦法把原積分變成這種形式，很簡單，只要把a2提出來即可。即

例4：求

解：顯然查表查不到，我們也想用第一換元積分法，那么又如何湊微分呢？由于 我們不妨試一試把 cosx放到d的后面，當然有時不一定能成功，我們可以多湊幾次。

。 （類似地，可求得

）

例5：求

解：顯然，我們不妨用半角公式來降冪試試看。

注3：對于 ， 的偶次方的不定積分，比如 ，

等等，他們都有一個固定的方法，即用半角公式來降冪去求不定積分。

例6：求

解：由于被積函數是 與 的乘積，所以我們不妨將

分成 ，而試著把 湊成 ，再把

代入，則原積分就變成了以 為變量的不定積分了。即

例7：求

解：由于被積函數是 與 的乘積，我們不妨用積化和差公式來嘗試一下，

注4：對于被積函數是 的積分，它們有一個固定的方法，就是利用積化和差公式，然后再利用第一換元積分法來求積分。

例8：求

解：做這個題的方法不是唯一的，它和求導不同。我們知道求導數一般只有一種方法，而積分則不然，當然積分結果也可能不一致，那么怎么判斷積分結果對不對呢？方法很簡單，就是將結果求導數，若導數是被積函數，則結果正確，否則，結果不正確。現在我們給出這個題的一種解法。

例9：求

解：這個題很典型，方法也不是唯一的，現在我們也給出這個題的一種一般性解法。希望讀者有意識的學會它。