一類分數階復混沌系統的異構組合同步

盧 雅，趙小山，徐 濤

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

近年來，分數階混沌系統已經成為一個熱點問題，在文獻[1]中，作者提出了一種新的混沌同步，稱為組合同步，該同步不同于以往的一對一模型，而是擴充到二對一模型，從而實現組合同步。實混沌系統實際是復混沌系統中虛部為零的特例與延拓[2-3]，此同步的優點是在傳統的一對一模式中，將不能被傳送的信號簡單地傳輸出去，具有更高的抗破譯性和抗干擾性，增強了保密通信安全性和保密性，因此組合同步成為了學者爭相研究的熱點。盡管前期的研究已經取得了一定的成果，但主要還是應用在整數階的混沌系統上，分數階混沌系統的組合同步需要進行更深入地研究，而分數階又被學者重點突破到實數范圍內，接下來又擴展到復數域上，因此其將會擁有更大的密鑰空間，在保密通信中將發揮更大的作用[4]。從復混沌系統發展歷程來看，復混沌系統不僅僅局限在適用某一單獨學科，在文獻[5]中就已說明有許多學者利用復Lorenz 系統來描述失諧激光和液體的熱對流現象。復數形式的出現使其在物理界備受重視，但也只是單純運用到整數階和實分數階系統中，在復混沌系統領域研究甚少，且對復混沌系統來說，保密通信中由于復數域的存在，會增加破譯的難度。因此，擁有更多的傳輸信息量，不僅可以提高信息傳遞的安全性，而且未來還會有更大的研究空間等待學者們的突破。

隨著手機、電腦、互聯網和大數據等高科技的發展，誕生了黑客這個職業，如“無線萬能鑰匙”就是一種破解信息傳遞的黑客軟件，因此就要求更多的信息量、更少的研究成本、更快的處理速度和更多種類的數據類型來確保通信的安全性。復混沌系統組合同步的快速發展，可以進一步保護個人、公司、社會的通信安全性與保密性，提升信息安全技術。本文根據主動控制方法讓2 個復驅動系統與1 個復響應系統達到組合同步，從而解決3 個系統間的復雜同步問題，提升對未知干擾因素取得提前控制的效果，并通過數值仿真驗證該方法對3 個復系統組合同步的有效性與可行性。

1 系統的數學模型與問題描述

1.1 Caputo函數

多種分數階微分的數學定義中，有3 種是最為常見的[6-13]，分別為Grnwald-Letnikov（G-L）函數、Riemann-Liouville（R-L）函數和Caputo 函數，在實際應用中運用較多的為Caputo 函數。

Caputo 函數定義描述如下：

式中：cDq為Caputo 微分算子（0 ＜q ＜1）；Γ（·）為伽馬函數（m 為≥q 的第1 個整數）。

1.2 Laplace變換

Laplace 變換在分數階微積分理論上占據著重要的角色[14]，表達式為：

式中：X（s）=L{x（t）}為x（t）的Laplace 變換；q 為階數；t 和s 分別為時域和頻域的變量。

此外，在分數階微積分中，經常運用到Mittag-Leffler（M-L）函數，單參數的M-L 函數可表示為：

雙參數的M-L 函數可表示為：

上式Laplace 變換可改寫成：

式中：t＞0；Ω（s）為s 的實部；λ∈R。

通過計算李雅普諾夫指數來判斷系統的混沌現象，研究復系統混沌吸引子的組合同步，通常考慮2個復驅動系統和1 個復響應系統如下：

2 分數階復混沌系統的組合同步方案

定義1對于給定的復驅動系統，復響應系統和任意初始條件x（0），y（0），z（0），2 個常數矩陣A∈Cn×n和B∈Cn×n，如果存在復控制器U（x，y，z），使得在t→∞時，所有的軌道（x（t），y（t），z（t））趨向于流形D={（x（t），y（t），z（t））：z（t）= Ax（t）+ By（t）}，即則稱復驅動系統和復響應系統達到組合同步。

1.2.2 實施階段:根據培訓計劃內容,由帶教老師一對一帶教,先由帶教老師進行操作示范,然后再在工作中練習提高。

式中：A=（s1，s2，…，sn）T，B=（m1，m2，…，mn）T，均為常數矩陣；e=（e1，e2，…，en）T為同步誤差；‖·‖為矩陣范數。

為了證明所提出的復混沌組合同步方案的合理性，接下來給出異結構的分數階復混沌系統之間的組合同步。以復Lorenz 系統為第一驅動系統，用變量x表示；以新的非線性分數階復混沌系統為第二驅動系統，用y 表示；以復T 系統為響應系統，用z 表示，并說明3 個不同結構的分數階復混沌系統之間的組合同步的實現。

第一驅動系統為：

第二驅動系統為：

響應系統為：

式中：an、bn、cn（n=1，2，3）為實常數系數和z2=均為復變量均為實變量（n=1，2，3）為待設計的實控制器。

設計控制器U 使得2 個驅動系統與1 個響應系統達到組合同步。

引理1[15]若q∈（0，1），x（t）=（x1（t），x2（t），…，xn（t））T∈Rn，其中xn（t）（n =1，2，…，n）是連續可微的函數，則對于任意的t≥0，有：

引理2[16]設V（t）是定義在[0，+∞）的連續函數且滿足：

其中λ 為常數，則：

定理1當控制器設計為：

式中：K = diag（k1，k2，…，kn）為實增益矩陣且kn＞0（n =1，2，…，n），則復驅動系統和復響應系統實現組合同步。

由定理1 設計如下控制器：

證明由定義可知，系統（1）-（3）之間存在同步誤差為e（t）=z（t）-Ax（t）-By（t），借助控制器可以得到如下的誤差動力系統：

對實部虛部進行分離可得到：

構建正定的李雅普諾夫函數如下：

則V（t）=‖e（t）‖2/2，由1.2 中的預備知識可以計算V（t）函數的導數，結合引理1 和方程可得：

式中：kmin= min{k1，k2，…，kn}，由引理2 可得：V（t）≤V（0）Eq（-2kmintq），進一步可以得到：‖e（t）‖2=2V（t）≤2V（0）Eq（-2kmintq）。

若kmin＞0，則有因此可以達到驅動系統和響應系統的組合同步，得證。

3 數值仿真

為了驗證上述理論的有效性，考慮一個具體的復混沌Lorenz 系統為第一驅動系統，系統階數為α=0.97，未知參數為a1∈[9，18），b1=1，c1=180 時，此時處于混沌狀態并存在混沌吸引子；當a1∈[2，9），b1=1，c1=180 時，也處于混沌現象并存在吸引子，驅動系統（1）的二階混沌吸引子如圖1所示，驅動系統（1）的三階混沌吸引如圖2所示。

圖1 驅動系統（1）的二階混沌吸引子

圖2 驅動系統（1）的三階混沌吸引

考慮一個新的非線性分數階復混沌系統為第二驅動系統，系統階數取為α=0.97，選取未知參數為a2=9.5，b2=19，c2∈[2，18]，存在二階超混沌吸引子；未知選取參數為a2=9.5，b2=19，c2∈[0，2]，存在三階超混沌吸引子。考慮復T 系統，未知參數取為a3∈[10，13]，b3= 0.6，c3= 30，系統階數為α=0.97，此時存在三階超混沌吸引子。

利用PECE 法進行數值仿真，選取：A=diag（s1（x），實增益矩陣K 的取值為K=diag（1，1，1）T。驅動系統（1）的初始條件為：

驅動系統（2）的起始條件為：

響應系統（3）的初值為：

因此，利用數值仿真可以得到同步誤差圖，誤差系統e=（e1，e1，…，en）T分別加入適當的控制器U，得到的時間歷程圖如圖3-7所示。利用主動控制法將2個驅動系統與1 個響應系統實現了組合同步。

圖3 誤差系統 加入控制器 后的時間歷程圖

圖4 誤差系統加入控制器 后的時間歷程圖

圖5 誤差系統加入控制器后的時間歷程圖

圖6 誤差系統加入控制器后的時間歷程圖

圖7 誤差系統 加入控制器后的時間歷程圖

4 結 語

為了研究異構非線性分數階復混沌系統的同步問題，本文結合主動控制方法，提出了一種組合同步的判據，并以其相應的穩定性理論作為實現異構分數階復混沌系統的組合同步以及設計相應控制器的理論基礎，最終實現了2 個驅動系統與1 個響應系統的組合同步，并分別從理論基礎到數值模擬對所設計的控制器的正確性和有效性進行了驗證。相對于以往單個驅動系統與響應系統的同步來說，2 個驅動系統和1 個響應系統加大了破譯的難度，增強了通信的保密性，為保密通信和密碼技術提供了新的思路。