基于基本解方法的有限平面Darcy滲流的研究

陳潤波 凌小雙

南通大學(xué) 交通與土木工程學(xué)院 江蘇 南通 226019

1 引言

滲流在水利、地質(zhì)、采礦、環(huán)境保護(hù)、化工、生物、醫(yī)療等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。在滲流研究中，楊和劉等人介紹了滲流理論在導(dǎo)電復(fù)合材料機(jī)理研究中的應(yīng)用和最新進(jìn)展；朱和祝利用滲流理論設(shè)計(jì)方案提高了采油效率。

本文利用基本解方法對有限區(qū)域中存在匯點(diǎn)的土石壩滲流問題進(jìn)行了計(jì)算，推動了無網(wǎng)格計(jì)算在Darcy滲流復(fù)雜邊界值問題中的應(yīng)用。

2 基本方程

2.1 Darcy滲流基本方程

當(dāng)材料為各向同性時(shí)，穩(wěn)定滲流的微分方程式為拉普拉斯方程

式中，h為測壓管水頭，上式只包括一個(gè)關(guān)于測壓管水頭的未知函數(shù)，在理論上結(jié)合邊界條件就有定解。

2.3 MFS方法

由于各向同性滲流控制方程為拉普拉斯方程，二維拉普拉斯方程的方程可表示為如下的形式：

式中為研究區(qū)域中的未知函數(shù)，為區(qū)域中的已知函數(shù)，在區(qū)域的邊界上，在本文中，只簡單的給出了兩類邊界條件典型形式（即Dirichlet , Neumann兩種邊界條件）

式中n為邊界上的外法線方向余弦。

根據(jù)基本解方法思路，在區(qū)域的外部且靠近邊界外取虛邊界，并把點(diǎn)取在虛邊界上，用表示。函數(shù)可表示為

如果滿足Neumann邊界條件時(shí)，根據(jù)式（4），式（5）中的待定系數(shù)可由如下形式的線性方程求出

Dirichlet邊界條件

Neumann邊界條件

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

如圖1（a）、（b）所示，設(shè)存在一個(gè)無限長的粘土壩體，滲流系數(shù)K=15.20*10^-10m/s。壩長遠(yuǎn)大于壩寬和壩高，壩體左側(cè)存在與壩體等高的水位，大壩尺寸為矩形區(qū)域，壩內(nèi)在處存在一個(gè)匯點(diǎn)，此問題可以簡化為平面問題。

圖1 大壩滲流示意圖

對于存在匯點(diǎn)的滲流，匯點(diǎn)特解為如下形式

式中，q為匯點(diǎn)強(qiáng)度，且q=-10^(-8)/k。

利用基本解方法對上述問題進(jìn)行計(jì)算，勢能水頭都是單調(diào)遞增的，而在點(diǎn)（5.45，5）處發(fā)生了轉(zhuǎn)折，這與匯點(diǎn)布置狀況是相符的。且水流流速均為負(fù)值，這表明水流流速整體方向向下，另外流速均為兩邊大，中間小，而這與實(shí)際工程狀況相符，是由左邊界的水流壓力作用和右邊界的自由條件引起的。

4 結(jié)語

主要對土石壩滲流的情況進(jìn)行了模擬計(jì)算，得到相對精確的數(shù)值解，滲流流線趨勢及勢能水頭變化規(guī)律都符合預(yù)期，驗(yàn)證了重構(gòu)基本解函數(shù)的正確性，證明了基本解方法在滲流計(jì)算中的可行性。