2019年高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷試題分析及教學(xué)建議

李曉群 魯巖 孟繁晶

摘 要：本文對(duì)2019年高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷試題進(jìn)行分析，闡述了試題具有聚焦主干知識(shí)，突出核心素養(yǎng);聯(lián)系社會(huì)熱點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用;考查數(shù)學(xué)思維，選拔功能明顯;增強(qiáng)文化滲透，體現(xiàn)立德樹(shù)人的四大特點(diǎn).另外給出了兩點(diǎn)教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：試題特點(diǎn);解答題分析;教學(xué)建議

作者簡(jiǎn)介：李曉群（1977-），女，黑龍江人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué);

魯巖（1972-），女，黑龍江人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué);

孟繁晶（1976-），女，黑龍江人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué).

1 試題分析

2019年高考數(shù)學(xué)試題的命題依據(jù)是《考試大綱》和《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，聚焦學(xué)科主干的內(nèi)容，突顯了關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，關(guān)注創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)，滲透數(shù)學(xué)文化知識(shí).試題著重考查主干知識(shí)、基本能力、核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了重視思維、關(guān)注應(yīng)用、鼓勵(lì)創(chuàng)新的指導(dǎo)思想.2019年理科試卷總體結(jié)構(gòu)變化很大，試題難度也比2018年明顯加大，主觀題在各部分的內(nèi)容布局和考查難度上進(jìn)行了較大的改變，打破了過(guò)去導(dǎo)數(shù)壓軸題的慣例，以解析幾何作為壓軸大題.這在一定程度上考查了考生的心理素質(zhì)、靈活應(yīng)變能力和積極調(diào)整適應(yīng)的能力.2019年試題突顯了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的導(dǎo)向，注重基本能力的考查，全面覆蓋了基礎(chǔ)知識(shí)，增強(qiáng)了綜合性及應(yīng)用性，以社會(huì)生活中真實(shí)情境作為問(wèn)題的載體，貼近實(shí)際，聯(lián)系社會(huì)生活，在數(shù)學(xué)教育和評(píng)價(jià)中真正地落實(shí)了“立德樹(shù)人”的根本任務(wù).

從文理考題差異來(lái)看，2018年感覺(jué)就是近在咫尺，而2019年卻遠(yuǎn)在天涯，文理考題差異漸行漸遠(yuǎn)，若即若離.2019年填空選擇文理考題只有6道題完全相同.解答題除了立體幾何第一問(wèn)和選做題以外均與理科不同，這與2018年高考題的導(dǎo)向完全不同.但是試題整體難度遠(yuǎn)低于理科.2017-2019年文理科考點(diǎn)見(jiàn)表1：

2 2019年全國(guó)Ⅱ卷理科試題特點(diǎn)

2.1 聚焦主干知識(shí)，突出核心素養(yǎng)

2019年數(shù)學(xué)高考試卷注重對(duì)高中基礎(chǔ)內(nèi)容的全面考查.三視圖與2018年一樣仍然沒(méi)有考查，2019年算法沒(méi)有考查，理科線性規(guī)劃沒(méi)有考查，這與新課標(biāo)的導(dǎo)向一致.過(guò)去的三年連續(xù)在小題中對(duì)異面直線成角的考查，今年的試題中沒(méi)有出現(xiàn).排列組合二項(xiàng)式定理今年也都沒(méi)有考查.填空壓軸題為立體幾何而且兩個(gè)問(wèn)題，這是之前高考題沒(méi)有嘗試過(guò)的新考法.

在此基礎(chǔ)上，試卷強(qiáng)調(diào)對(duì)主干內(nèi)容的重點(diǎn)考查，體現(xiàn)了全面性、基礎(chǔ)性和綜合性的考查要求.理科Ⅱ卷客觀題除了第4小題的情境問(wèn)題讓學(xué)生感覺(jué)略顯慌張以外，其余試題比較常規(guī).在解答題中重點(diǎn)考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、概率、數(shù)列、立體幾何、直線與圓錐曲線等主干內(nèi)容.解答題題目順序調(diào)整之大史無(wú)前例！正如我校在考前16天所做的考前指導(dǎo)里說(shuō)的那樣，2019年數(shù)學(xué)考題會(huì)有翻天覆地的變化，當(dāng)初猜測(cè)的就是題目順序的變化.看到試卷之后才真正明白了翻天覆地的含義！

理科第17題為立體幾何大題，屬于非常基礎(chǔ)的問(wèn)題，長(zhǎng)方體為問(wèn)題背景，沒(méi)有以往復(fù)雜的證明和艱難的計(jì)算，而且第二問(wèn)回避了二面角銳角或是鈍角的判斷.

理科第19題是數(shù)列問(wèn)題，雖然不是專家們預(yù)測(cè)的三角函數(shù)大題，但是題目很簡(jiǎn)單，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為輕松，需要注意的是第一問(wèn)作答時(shí)，首項(xiàng)和公差、公比的描述.打破了近五年三角函數(shù)和數(shù)列交替出題的慣例，而且題目位置由第一道大題調(diào)到了第三道大題.

選做第22題極坐標(biāo)參數(shù)方程考查的是極坐標(biāo)的知識(shí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)問(wèn)題有兩點(diǎn)：（1）沒(méi)有直角坐標(biāo)系，如果第一問(wèn)用直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化是否需要敘述建系過(guò)程？（2）第二問(wèn)的完備性仍然是學(xué)生的難點(diǎn)問(wèn)題，這與近三年極坐標(biāo)的考查方向是一致的，學(xué)生會(huì)卻難得滿分.

選做第23題不等式選講，這道題和以往考查方向不同，這是一個(gè)二次的分段函數(shù).雖然第一問(wèn)難度不大，但是這道題中涉及的二次的問(wèn)題是學(xué)生平時(shí)見(jiàn)得較少的（17年全國(guó)Ⅲ卷曾經(jīng)考過(guò)），包括第二問(wèn)，無(wú)論是分段研究解不等式還是圖象突破都需要學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和計(jì)算能力.這與一直以來(lái)，考查關(guān)于一次絕對(duì)值不等式的解集、參數(shù)范圍或證明問(wèn)題差別較大.相同之處是分類討論的解題思想.

2.2 聯(lián)系社會(huì)熱點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用

2019年的數(shù)學(xué)高考試題，注重了與國(guó)家社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和生產(chǎn)生活實(shí)際緊密的聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題情境，著重考查了考生靈活運(yùn)用高中數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決應(yīng)用問(wèn)題的能力.如今年高考理科Ⅱ卷客觀題的第13題，以我國(guó)高鐵列車的發(fā)展為問(wèn)題背景、文科Ⅱ卷主觀題第5題以 “一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)為問(wèn)題情境設(shè)計(jì)題目，實(shí)則考查了學(xué)生邏輯推理的能力;理科Ⅱ卷主觀題第4題聯(lián)系“嫦娥”四號(hào)的技術(shù)突破，考查了學(xué)生估算的能力，反映我國(guó)航空航天事業(yè)所取得的突出成就.這些試題充分發(fā)揮了思想教育的功能，體現(xiàn)了 “立德樹(shù)人”的教育宗旨.這些真實(shí)情境來(lái)源于不同的領(lǐng)域，貼近生活中的實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)中學(xué)的素質(zhì)教育有很好的促進(jìn)作用.

理科第18題引入國(guó)人引以為傲的乒乓球運(yùn)動(dòng)，以比賽結(jié)果的預(yù)估提出問(wèn)題，要求考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)方法來(lái)分析、解決體育問(wèn)題.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值.2017年、2018年均考查的是統(tǒng)計(jì)大題，今年理科試題的兩問(wèn)均為概率，在學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行充分的理解后作答應(yīng)該不會(huì)困難，但是過(guò)程書(shū)寫、閱卷的要求不清楚，如果按照教材中給出的書(shū)寫要求，學(xué)生恐怕不容易得滿分.

2.3 考查數(shù)學(xué)思維，選拔功能明顯

2019年的數(shù)學(xué)考題與之前三年的考題比較，強(qiáng)化思維，有效區(qū)分不同思維層次的考生.今年試題非常側(cè)重對(duì)邏輯推理能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力的考查.命題從知識(shí)立意到能力立意，再?gòu)哪芰α⒁獍l(fā)展到學(xué)科素養(yǎng)立意，目的就是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和數(shù)學(xué)精神，考查考生理性思維的廣度和深度，滿足了高校對(duì)人才選拔的需求.

理科第20題導(dǎo)數(shù)，兩問(wèn)均為證明問(wèn)題，考查形式變化較大.以往的導(dǎo)數(shù)大題會(huì)有一大部分學(xué)生因?yàn)殡y度較大或沒(méi)時(shí)間作答而選擇舍棄，今年的這道題無(wú)論從思維還是運(yùn)算難度都比較合理，屬于比較常規(guī)的典型問(wèn)題.但對(duì)于第一問(wèn)的定義域和零點(diǎn)存在的敘述也不容易拿到滿分.第二問(wèn)函數(shù)公切線的問(wèn)題曾在2016年全國(guó)Ⅱ卷填空壓軸題出現(xiàn)過(guò)，屬于比較程序化的解題思路.

理科第21題以解析幾何壓軸出現(xiàn)，相當(dāng)于三個(gè)問(wèn)題.第一問(wèn)比較常規(guī)，題目原型是教材的課后習(xí)題，但是完備性的問(wèn)題需要特別注意;第二問(wèn)借助于二級(jí)結(jié)論（需要證明）解決能相對(duì)容易一些.注意代數(shù)和幾何條件的轉(zhuǎn)化，最值求解方法比較開(kāi)放.但無(wú)論思維考查還是運(yùn)算量都需要學(xué)生過(guò)硬的基本功，有很好的選拔功能.對(duì)于“新課標(biāo)”所提到的圓錐曲線整體要求有所下降似乎沒(méi)有任何導(dǎo)向作用！

2.4 增強(qiáng)文化滲透，體現(xiàn)立德樹(shù)人

中華民族有著悠久的歷史和文化積淀，它是我們民族的根基和靈魂，也是立德樹(shù)人、繁衍發(fā)展的文化血液，蘊(yùn)含著強(qiáng)大感召力.2019年高考數(shù)學(xué)試題把其中的精華引入到了考試內(nèi)容中，既刻上了中華文化的烙印，又有東方數(shù)學(xué)文化的風(fēng)韻，發(fā)揮如沐春風(fēng)、潤(rùn)物無(wú)聲的作用.文、理科Ⅱ卷客觀題第16題融合了中國(guó)悠久的金石文化，賦以幾何體以真實(shí)的問(wèn)題背景，考查了學(xué)生的空間圖形的轉(zhuǎn)化能力和空間想象能力，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)文化，發(fā)現(xiàn)幾何之美.

其實(shí)，數(shù)學(xué)之美無(wú)處不在.數(shù)學(xué)之美體現(xiàn)在：簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言、精巧的構(gòu)造、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)、代數(shù)的優(yōu)雅、幾何的神韻、清澈的理性等多方面.

3 教學(xué)建議

3.1 創(chuàng)造真實(shí)的問(wèn)題情境，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維能力的提升

今年的高考題無(wú)論是嫦娥四號(hào)、金石文化的印信、一帶一路還是中國(guó)高鐵等問(wèn)題，學(xué)生之所以慌張，主要原因是平時(shí)像這樣在真實(shí)的情境下解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)太少了.我們更多見(jiàn)到的是一個(gè)單刀直入的數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么在生活實(shí)踐中哪里會(huì)有這樣的問(wèn)題：這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是什么？最值又是多少？而這樣的問(wèn)題背景實(shí)際是一個(gè)決策問(wèn)題，整個(gè)過(guò)程是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.說(shuō)到這里可能老師在想，平時(shí)的考題中一定要多多加入這樣實(shí)際問(wèn)題情境的問(wèn)題，我想這樣的訓(xùn)練僅在考試中加強(qiáng)還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要把這樣的應(yīng)用意識(shí)滲透到每一節(jié)課，就像我們學(xué)校正在實(shí)行的國(guó)家課程校本化所倡導(dǎo)的那樣，每一節(jié)課不是講知識(shí)和做訓(xùn)練，而是讓學(xué)生在真實(shí)的問(wèn)題情境下發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析并解決問(wèn)題.只有關(guān)注學(xué)生思維的成長(zhǎng)，才能讓我們的課堂走向“啟迪智慧、點(diǎn)化生命”的高度.

所謂創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，實(shí)際上是把數(shù)學(xué)問(wèn)題隱藏在一個(gè)問(wèn)題情境之中，或者是將數(shù)學(xué)問(wèn)題引伸到實(shí)際問(wèn)題中，從而引發(fā)認(rèn)知沖突，點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花.所以，在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，建立問(wèn)題驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為主線，通過(guò)真實(shí)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和思維的積極參與，使學(xué)生能聽(tīng)言，入境，帶領(lǐng)學(xué)生以積極愉悅的心態(tài)去主動(dòng)探索，善于研究.

囿于傳統(tǒng)教學(xué)的思維定式，我們?cè)缫呀?jīng)習(xí)慣用單純的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題.要讓數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)揮它真正的研究和應(yīng)用價(jià)值，對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)方式的挑戰(zhàn)，也是我們必須要逾越的第一道障礙.唯有教師自身有堅(jiān)定的改革信心并具備了扎實(shí)的課程研究能力，并對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)初心不改，始終以敬畏、好奇的研究精神發(fā)掘生活中有意義的教學(xué)素材，數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正跳出唯知識(shí)、方法論的狹隘層面，從而才能使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根，并走向培養(yǎng)學(xué)生高階思維的教學(xué)！

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)提倡教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的問(wèn)題解決過(guò)程，在整個(gè)過(guò)程中，教師應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生的活動(dòng)體驗(yàn)、獨(dú)立鉆研和學(xué)生之間的互動(dòng)交流，自覺(jué)地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維方式去觀察、發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題.借助合理科學(xué)的問(wèn)題情境載體，真正實(shí)現(xiàn)“為數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)而教”“為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展而教”的目的.2019年數(shù)學(xué)高考題為我們指引了方向并堅(jiān)定了信心.

3.2 重視細(xì)節(jié)的教學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

2019年的高考題選拔功能明顯，對(duì)于一些同學(xué)來(lái)說(shuō)，想得到一個(gè)滿意的分?jǐn)?shù)就需要做到“會(huì)的全對(duì)”，步驟上“無(wú)懈可擊”.所以，在日常教學(xué)中教師應(yīng)該要求學(xué)生做到規(guī)范做答，并努力作到“會(huì)則對(duì)，對(duì)則滿”，引導(dǎo)學(xué)生注意怎樣書(shū)寫才能不丟分，如何去爭(zhēng)取步驟分.一定強(qiáng)調(diào)良好書(shū)寫習(xí)慣的重要性，訓(xùn)練重點(diǎn)要落在速度快、表達(dá)全、計(jì)算準(zhǔn)三個(gè)方面.考試的時(shí)間緊，復(fù)習(xí)時(shí)特別強(qiáng)調(diào)要有速度意識(shí)，加強(qiáng)速度訓(xùn)練，不斷提醒學(xué)生，對(duì)于有些題，用時(shí)過(guò)多，步驟書(shū)寫廢話太多，即使此題做對(duì)了，其實(shí)也是“潛在丟分”.一定不要“小題大做”.

數(shù)學(xué)高考試題歷來(lái)重視運(yùn)算能力的考查，運(yùn)算要熟練、準(zhǔn)確，運(yùn)算要簡(jiǎn)捷、迅速.事實(shí)證明，在以中低檔難度為主體的試題測(cè)試中，考生想獲得正確的思路一般來(lái)說(shuō)比較容易，如何規(guī)范而準(zhǔn)確地表達(dá)就變得相當(dāng)重要了，所以，要求考生一定要將解答過(guò)程書(shū)寫得結(jié)構(gòu)完整、層次分明.具體建議有如下四點(diǎn)：

（1）課堂上培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣（特別是應(yīng)用問(wèn)題），通過(guò)反復(fù)認(rèn)真的讀題、標(biāo)記關(guān)鍵詞語(yǔ)，將問(wèn)題用自己的語(yǔ)言重新表述、對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行再加工，進(jìn)而努力尋找解題突破口;

（2）課堂上善于將典型問(wèn)題的解題過(guò)程程序化.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的典型性、層次性、綜合性進(jìn)行分析，尋找解決問(wèn)題的捷徑.例如：看到有根號(hào)時(shí)，常想到平方、有理化、兩點(diǎn)間距離公式等.遇到求取值范圍和最值問(wèn)題時(shí)，通常想到一個(gè)變量函數(shù)思想和兩個(gè)變量的不等式思想;

（3）課堂上培養(yǎng)學(xué)生“說(shuō)”解題的思維過(guò)程，“聽(tīng)懂了卻不會(huì)做”類似于這樣的問(wèn)題是學(xué)生身上普遍存在的問(wèn)題，其實(shí)究其原因是學(xué)生沒(méi)有真正學(xué)會(huì)思考，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)成簡(jiǎn)單記憶.所以解題時(shí)教師一定要追問(wèn)：本題要怎樣想，為什么要這樣想？特別是清晰如何做，怎么想到要這么做，還可以怎樣做？等等.

（4）課堂上規(guī)范和培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算和用草紙的習(xí)慣，在講解解答題時(shí)規(guī)范每一步的解題步驟，強(qiáng)調(diào)易丟分的步驟，必要時(shí)教師一定要板演打樣.

例如：數(shù)列中的n≥2;三角中的A∈（0，π）;證明等差、等比時(shí)要說(shuō)明首項(xiàng)及公差公比;概率過(guò)程的書(shū)寫等.

總結(jié)起來(lái)：解題方法多樣化、格式書(shū)寫規(guī)范化、重要結(jié)論工具化、解后思路程序化.

總之，2019年數(shù)學(xué)試卷反饋給我們的信息就是：回歸課本，發(fā)展學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思維，注重?cái)?shù)學(xué)思維的培養(yǎng).考生除了需要吃透課本、抓實(shí)基礎(chǔ)、注意通性通法以外，還需要強(qiáng)大的心理來(lái)應(yīng)對(duì)情境問(wèn)題和突如其來(lái)的變化.

教師要特別重視數(shù)學(xué)閱讀、表達(dá)、數(shù)學(xué)應(yīng)用、邏輯推理等關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，特別關(guān)注運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué).注重帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，以及問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的完整過(guò)程，充分挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題的遷移功能和內(nèi)在價(jià)值，提升學(xué)生思維的延展性與創(chuàng)新性及應(yīng)用性.為培養(yǎng)出更多的具有生命活力、研究潛力、創(chuàng)新能力和報(bào)國(guó)實(shí)力的未來(lái)?xiàng)澚海覀円痪€教師是時(shí)候該行動(dòng)起來(lái)啦！

（收稿日期：2019-06-25）