各向異性問題的多子域區域分解算法

劉何熠,劉保慶

(南京財經大學應用數學學院,江蘇 南京 210023)

0 引言

無界區域上的數值求解問題一直備受關注,目前已有多種求解方法,如自然邊界元方法[1-2]、自然邊界元與有限元耦合法[3-5]、區域分解算法[6-8],這些算法有各自求解的適宜區域.李天然[9]提出了多子域求解非重疊區域分解算法,避免了因求解區域過多使求解結果過程過于復雜的問題,具有一定的研究意義.本文應用文獻[9]提出的方法,通過詳細的理論分析和證明過程,說明該方法對于解決無界凹角區域上各向異性問題的可行性.

1 多子域D-N交替算法

設Ω是具有角度β(0<β≤2π)的無界凹角區域.?Ω表示凹角區域邊界,由互不重疊的Γ0,Γ′0,Γ″0三部分組成.

現考察各向異性橢圓微分方程的混合邊值問題:

(1)

設b>a>0,求解區域Ω是中心在原點、半徑為R的帶有凹角β的圓的外部.

于是,區域Ω,Γ0,Γ′0,Γ″0描述如下:

Ω={(r,θ)|r>R, 0<θ<β},

Γ0={(r,θ)|r=R, 0<θ<β},

Γ′0={(r,θ)|r>R,θ=0},

Γ″0={(r,θ)|r>R,θ=β}.

其中,(r,θ)為極坐標,其與直角坐標(x,y)的關系為x=rcosθ,y=rsinθ.

于是關于ξ,η的橢圓邊值上的調和方程的混合邊值問題如下:

(2)

引入橢圓坐標(μ,φ),其與直角坐標(ξ,η)的關系為:

ξ=f0coshμcosφ,η=f0sinhμsinφ,

由自然邊界元理論可知[10],該問題在橢圓坐標下的Poisson積分公式為:

(3)

該問題在橢圓坐標下的自然積分方程為:

(4)

引入人工圓邊界,將無界區域Ω分裂成互不重疊的m個子域,此時有界區域Ωi(i=1,2,…,m-1)和無界區域Ωm具體描述如下:

Γi={(Ri,θ)|0<θ<β},Rm-1>Rm-2>…>R1>R,

Γ′i={(r,θ)|θ=0,Ri-1

Γ″i={(r,θ)|θ=β,Ri-1

Γ′m={(r,θ)|θ=0,r>Rm-1},Γ″m={(r,θ)|θ=β,r>Rm-1},

Ωi={(r,θ)|Ri-1

Ωm={(r,θ)|r>Rm-1, 0<θ<β}.

下面構建Dirichlet-Neumann(D-N)交替算法:

步驟2 在Ωm上解Dirichlet外問題:

(5)

步驟3 在Ωi(i=2,…,m-1)上解混合邊值問題:

(6)

步驟4 在Ω1上解決混合邊值問題:

(7)

步驟5 在Γi(i=1,2,…,m-1)上輸入松弛因子θk,令

(8)

步驟6 令k=k+1,轉至步驟2.

2 多子域D-N交替算法的變分及離散形式

上述問題(7)相對應的變分形式為:

(9)

其中,

問題(6)的變分形式與問題(7)的變分形式類似,從而得到下面離散形式的D-N交替算法:

步驟2 在Ωm上解Dirichlet外問題:

(10)

步驟3 在Ωi(i=2,…,m-1)上解決離散化問題:

(11)

步驟4 在Ω1上解決離散化問題:

(12)

步驟5 在Γi(i=1,2,…,m-1)上輸入松弛因子θk,令

(13)

步驟6 令k=k+1,轉步驟2.

D-N交替法離散化的迭代過程可以寫成如下形式:

(14)

及

(15)

式(14)左邊的三階分塊矩陣是由區域Ωj上有限元得到的,Bj可以通過自然邊界元在Γj上求得.

3 多子域離散D-N交替算法的收斂性

為了分析多子域D-N交替算法的收斂性,先給出下面的等價性定理.

定理1 多子域的離散的D-N交替法(14)～(15)與如下式(16)的迭代法等價:

(16)

其中,

證明 設(Uj,Uij,Uj-1)T是下面方程組的解:

(17)

對上述分塊矩陣進行初等行變換得到:

即

將式(17)改寫成:

再與式(14)相減,得到:

(18)

利用分塊矩陣的初等行變換可得到:

從而可以得到:

(19)

定理2 若選取θk=θ(k=0,1,2,…),則存在一個與有界區域Ωj(j=1,2,…,m-1)上的有限元網格參數h無關的常數σ(0<σ<1),使得當0<θ<σ時,預處理Richardson迭代法(16)是收斂的.又因多子域D-N交替算法與預處理Richardson迭代法的等價性,可以推出(14)～(15)收斂,并且收斂速度與h無關.

證明 由式(16)可得

用‖·‖2表示矩陣的譜范數或向量的2范數,則有

(20)

其中,

(21)

綜上所述,預處理Richardson迭代法是收斂的,從而離散的多子域D-N交替算法收斂,并且收斂速度與網格參數h無關.