運用高斯消去法的心得體會

許俊豪

【摘 要】數學上，高斯消元法（或譯：高斯消去法），是線性代數規劃中的一個算法，可用來為線性方程組求解。但其算法十分復雜，不常用于加減消元法，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。不過，如果有過百萬條等式時，這個算法會十分省時。一些極大的方程組通常會用迭代法以及花式消元來解決。當用于一個矩陣時，高斯消元法會產生出一個“行梯陣式”。高斯消元法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列系數的方程組。該方法以數學家高斯命名，由拉布扎比。伊丁特改進，發表于法國但最早出現于中國古籍《九章算術》，成書于約公元前150年。

【關鍵詞】高斯消去法;線性方程組;算法;矩陣

一、我對高斯消去法感興趣的原因

在剛開始聽周老師講高斯消去法時我一下子提起了興趣，因為從小我就對高斯這個偉大的數學家充滿興趣，高斯是一位天才，知道他用99+1=100這種首尾相加解決了求和問題，那個故事我還記憶猶新，這也許是高斯消去法的靈感源泉，因為把矩陣化為上三角或者下三角相當于化整，我覺得這種方法的靈感值得我們學習數學的人員借鑒，并且高斯公式也運用的很廣泛。

當聽到高斯這個名字，我立馬打起精神來學習，然后我發現它和我們之前學習的高等代數有關，確實是一個古老的求解線性方程的方法，而我國在古代《九章算術》中就有涉及，但我覺得越古老就越經典，它可以拿出來用，就說明它的基本思想是很經典的，果然在學習了數值分析的高斯消去法后，它把高斯消去法原理不斷運用衍生出選主元素消去法、三角分解法，而這兩種方法利用計算機是非常方便展示出來的。

其最基本的原理就是：用行的初等變換將原線性方程組系數矩陣化為簡單形式（上三角矩陣），從而將求解原線性方程的問題轉化為求解簡單方程組的問題。所以在電腦上輸入代碼無論多大的矩陣計算機都可以計算，并且書中解釋了消元過程，如果A是非奇異矩陣就可以得到求解公式：

其次書中還介紹其運用在矩陣的三角分解和列主元消去法，這些在計算機上的運用是比較重要的，矩陣的三角分解法是由消元法演變而來的解線性方程組的一類方法。設方程組的矩陣形式為Ax=b，三角分解法是將系數矩陣A分解為一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U之積：A=LU，然后依次解兩個三角形方程組Ly=b和Ux=y，而得到原方程組的解。

二、高斯消去法在MATLAB中的運用

首先是用主列元高斯消去法解線性方程組：

%%求解任意線性方程組的解

clc;

clear all;

format long e

disp（‘線性方程組求解，請輸入參數）;

n=input（‘維數n=）;

A=input（‘矩陣A=）;

b=input（‘右端項b=）;

eps=input（'控制精度eps='）;

b=b;? %%變為列向量

A=[A b]; %%矩陣增廣

for k=1：n-1

B=A（k：n，k）;%%先將第k列可能作為主元的元素取出方至矩陣B

P=max（abs（B））;? %%選主元P

if（P

disp（‘無解）;

break;

else

u=find（（abs（B））==P）; %%計算主元所在行相對與k行的位置

if（u～=1）

A（[k，u]，：）=A（[u，k]，：）; ？%%換行

end

m=A（k+1：n，k）/A（k，k）;? %%求出各行行乘數并放至矩陣m

for i=1：length（m）

A（k+i，k：n+1）=A（k+i，k：n+1）-m（i）*A（k，k：n+1）; %%消元按行進行

end

end

end

if A（n，n）==0

disp（‘無解） %%若矩陣A不滿秩，則無解

else

x（n）=A（n，n+1）/A（n，n）;? %%由最后一行首先求出方程組的第一個解x（n）

for i=n-1：-1：1 %%計算第i個解x（i）

for j=1：1：n-i %%利用回代思想

A（i，n+1）=A（i，n+1）-A（i，i+j）*x（i+j）; %%減去已知部分

end

x（i）=A（i，n+1）/A（i，i）;

end

end

disp（‘方程組的解）;

x=x? %%輸出方程組的解

其流程圖可用如下表述：

在書中p178頁的第二題我套用用了該代碼然后解出兩個線性方程組，還是計算時間是比較快的，不然手算的話，做半年都不一定能做的對和做的出。

接著我又在網上查詢了矩陣LU的分解，了解以下程序：

A=[1，2，3;1，3，5;1，3，6];

b=[2，3，4];

x=grout（A，b）;

function x=grout（B，c）

n=size（B，1）;

L=eye（n）;

U=zeros（n）;

for i=1：n

s=0;

t=0;

for j=1：i-1

s=s+L（i，j）*U（j，i：n）;

t=t+L（i+1：n，j）*U（j，i）;

end

U（i，i：n）= B（i，i：n）-s;

L（i+1：n，i）=（B（i+1：n，i）-t）/U（i，i）;

end

y=grout1（L，c）;

x=grout2（U，y）;

function y=grout1（B，c）

n=size（B，1）;

y=zeros（n，1）;

for i=1：n

s=0;

for j=1：i-1

s=s+B（i，j）*y（j）;

end

y（i）=c（i）-s;

end

end

function x=grout2（U，y）

n=size（U，1）;

x=zeros（n，1）;

for i=n：-1：1

s=0;

for j=n：-1：i+1

s=s+U（i，j）*y（j）;

end

x（i）=（y（i）-s）/U（i，i）;

end

end

個人認為其核心內容總的來說是分解獲得L和U，從而解出X。在MATLAB中僅我了解到的是這種算法很方便，但不知其實際作用，然后在好奇心驅使通過查找高斯消去法在各方面各領域中的應用，結果真的令人大吃一驚！

三、高斯消去法在實際生活中的運用：

我通過中國知網的論文庫查到利用高斯消去法有效求解帶電路分析。在電路系統的分析和設計中，在進行交流小信號分析時，所列的方程是線性代數方程，可以采用高斯消元法或LU分解法;對于直流非線性分析，所列方程是非線性代數方程，可以采用牛頓一拉夫森方法迭代求解。

例如在電路的直流分析中，電容開路，電感短路，計算電路的靜態工作點。在交流小信號分析中，電路也先要進行直流分析，以確定半導體器件的跨導等小信號參數。在瞬態分析中，需求出電路在指定時間區間上的解，這時電路的方程是常微分方程，求解常微分方程必須先求出電路儲能元件上的初始電流或電壓值，這也由直流分析來完成。

線性電路的直流分析所建立的方程是線性代數方程組。對于建立電路線性代數方程組方法可以應用節點法或改進節點法，也可以采用表矩陣法和雙圖法，這些方法都可以利用計算機自動建立。如果我們建立好了電路的代數方程組AX=B，一般可以利用高斯消去法和LU分解法來解方程組。實際上對于稍大些的電路（Cn>40），建立的矩陣A是個稀疏矩陣，矩陣含有大量的零元素。可以用高斯主元消去法來算。

這相當與建模的一部分，先列出物理模型然后再運用數學發現方程為大量的線性代數方程，則可以用到數學中的高斯消去法來算。我下面列出物理上高斯消去法的運用：

以帶權圖的形式給出一個用n個結點和m個電阻連接的電路，求點1與點n兩點間的電阻。

解法基于兩個事實：

1.<基爾霍夫定律>：所有點的電流總流入等于總流出（除了1和n兩點）。

2.<歐姆定律>：I=U/R=（Ex-Ey）/R

因為電流方向不好確定，不妨令電流可正可負，那么定律1可以表示成“總流出之和等于0”，于是對每個節點列一方程，高斯消去法解之即可。

四、掌握高斯消去法對于我的好處

熟練掌握了高斯消去法，對于許多矩陣問題我都可以輕而易舉地解決，尤其是10階乘以上的線性方程組矩陣我可以利用計算機來求出其解，真的非常方便，我覺得這個算法的核心是化簡。運用各種方法把矩陣化簡然后把復雜的問題簡單化則成了高斯消去法。但其算法十分復雜，不常用于加減消元法，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。不過，如果有過百萬條等式時，這個算法會十分省時。一些極大的方程組通常會用迭代法以及花式消元來解決。當用于一個矩陣時，高斯消元法會產生出一個“行梯陣式”。高斯消元法可以在電腦中來解決數千條等式及未知數。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的系數的方程組。

我覺得左方的消元過程是我最喜歡的，這就是高斯消去法的精髓，我在學習中慢慢體會到了高斯消去法能解決許多復雜問題。再熟練運用MATLAB，再難得問題也可以被計算簡化。

五、我感受到這種算法的魔力

在學習這種算法的過程中，我學會了一種重要的思想那就是消元，在初中高中我們也都用過消元法，這是比較經典的，所以在大學我們學會了高斯將這種消元法衍生，所以我懂得了，我們不是不可以做到偉大，我們只需站在前人的肩膀上，將前人的智慧衍生改進，就像高斯消去法其衍生出的列主元消去法和LU解法，我們也可以像那些數學家一樣。這種算法使我著迷，使我想要了解它的一切，它既是一切的捷徑又是數學家的心血，只要我們好好讀書，好好專研，就能發現更優的算法，算法的魔力是不言而喻的，讓人覺得巧妙卻又在情理之中。