基于鍵合圖模型的解析冗余關系法在傳感器布局中的應用*

林友紅

（海軍工程大學艦船綜合試驗訓練基地 武漢 430033）

1 引言

現代故障診斷方法多是基于對系統底層結構和行為的分析。從20世紀90年代開始，國外學者已將鍵合圖應用于故障診斷領域，發展形成了一種方便、快速、適用范圍廣且診斷效果好的故障診斷方法，在理論和實踐方面都達到了較高的水平，充分證明了基于鍵合圖故障診斷的巨大優勢和潛力［1～2]。

基于鍵合圖理論的故障診斷方法中最關鍵的信息之一就是傳感器信號。對于一個監控系統，傳感器布置是否合理，傳感器數量是否足夠等問題對該系統的故障診斷特性有著非常大的影響。目前多數的故障診斷與隔離方法都是基于現有的傳感器配置方案，對于如何通過優化傳感器配置方案來提高診斷性能的研究較少。傳感器配置主要研究內容為在滿足系統性能優值（系統可觀測性、故障可檢測性、故障可隔離性和成本預算等）和系統各約束條件的前提下，確定傳感器組合方案［3]。鍵合圖模型清晰地描述了系統中各部件之間的能量交換關系，并包含了大量的系統結構、行為和因果關系等信息，通過對系統模型因果路徑進行分析，可以方便地進行系統故障可診斷性和可隔離性分析［4]。

針對傳感器配置優化的問題，根據分析過程使用的方法和知識的不同，研究方法主要可以分為基于解析模型的方法（定量）和基于知識的方法（定性）兩類，其中，定性的方法包括基于神經元的方法［5]、基于遺傳算法的方法［6]、基于模擬退火算法的方法［7]和有向圖法［8]等。基于知識的傳感器配置方法不需要建立系統準確的數學模型，只需要系統的經訓練推導所得的先驗知識和規則即可，相比于定量的方法更加簡單，但其主要缺點是各算法主要通過特定的啟發過程選擇，忽略了系統實際過程的物理信息，并包含了模式識別等步驟［9]。

本文以兩容水箱系統為例，探討了一種基于鍵合圖模型的解析冗余關系（Analytical Redundancy Relation，ARRs）法應用于傳感器的布局中，該方法利用鍵合圖建模優勢，建立兩容水箱系統的鍵合圖模型，分析系統ARRs，得到系統故障特征矩陣，推導得到系統最優的傳感器布局方案，具有模型直觀、易于獲取系統的故障特征等優點。

2 鍵合圖建模方法

2.1 鍵合圖概述

鍵合圖理論最早由Paynter教授于20世紀60年代初提出［10]，后經推廣，逐漸成為一種描述多種能量范疇的系統動力學圖示建模方法。鍵合圖將各類系統所涉及的多種物理量，從功率流的角度出發，統一歸納為四種系統變量，即勢、流、動量和變位，采用功率鍵、作用元、功率源、結點、變換器和旋轉器等來表征系統基本物理特征和能量轉換與守恒關系，描述了系統中功率流的構成、轉換、相互間邏輯關系及物理特征［11]。關于鍵合圖的基礎理論可參看文獻［12]。

2.2 鍵合圖基本元件

基于相同的物理性質，鍵合圖抽象出9種基本元件用以描述不同能量范疇和系統中的各種理想元件。圖1所示為鍵合圖基本單元示意圖。鍵合圖理論使用功率鍵表示能量在系統中各個部件之間的流動。功率是一種標量，沒有方向，但人們往往習慣于用功率流來表示能量流，故把能量流的方向稱為功率流的方向，如圖1（a）所示，箭頭所指的方向即表示為功率流的方向。

圖1（b）、（c）分別表示鍵合圖中的0結點和1結點。0結點也叫共勢結點，即所連各鍵的勢皆相等，而流變量代數和為0。1結點也叫共流結點，即所連各鍵的流皆相等，而勢變量代數和為0。如圖1（d）所示，變換器（transformer，TF）是一種能量轉換器，主要用于轉換相同或不同類型的能量，轉換前后的能量遵循能量守恒定律。圖1（e）所示的回轉器（gyrator，GY）用來描述系統能量傳輸過程中勢變量與流變量之間的變換關系。圖1（f）所示分別為鍵合圖中的阻性元件、容性元件和慣性元件，分別用于模擬系統中消耗、存儲和釋放能量的部件。勢源和流源分別用來描述環境對系統的勢和流的作用，其符號表示如圖1（g）所示。

圖1 鍵合圖基本單元示意圖

3 基于鍵合圖模型生成解析冗余關系的方法

3.1 解析冗余關系

解析冗余關系簡而言之就是系統模型的限制關系，而且組成解析冗余關系的變量需全部為已知過程變量，其中包含了系統輸入、系統參數、傳感器測量信號等。ARR通常為以下的形式：

其中，f1和f2為有關于K1和K2兩個函數，并都由已知的系統過程變量構成。在本文所采用的基于鍵合圖模型方法中，系統模型的已知變量通常為功率源（Se和Sf），可調功率源（MSe和MSf），傳感器測量信號（De和Df），模型參數（θ）和控制器輸出（u），因此，鍵合圖故障診斷模型中的ARR表達式通常為

一般情況下，解析冗余關系是由系統模型中的守恒關系獲得，例如伯努利方程、牛頓定律、基爾霍夫定律等。然而，解析冗余關系并不一定具有某種物理意義，即使在這種情況下，系統在正常運行過程中各變量始終要滿足系統的解析冗余關系，因為解析冗余關系代表了系統中固有的限制條件。

3.2 基于鍵合圖生成解析冗余關系

在系統建模過程中，根據模型的結構和仿真要求，鍵合圖元件可以設置為積分因果關系和微分因果關系兩種。在基于鍵合圖模型的故障診斷中，系統元件應該盡可能地設置成微分因果關系。微分因果關系可以使得模型在計算過程中避免因初始值不明確而額外增加未知量，如果未知量增加，則模型不能建立足夠的ARRs。從鍵合圖建模的觀點來看，ARR可以寫成如下的形式：

ARR的生成算法其實相當于一種遞歸剔除方法，其具體方法如下：

1）選一個節點；

2）列寫該節點的結構方程FS，形成該節點的ARR。列寫好該節點的結構方程后，通過鍵合圖的因果路徑關系盡可能地消除方程式中的未知變量。例如，方程式中已知變量的數量為NK，未知變量的數量為NU，則有：

其中，nvar為總的變量的個數。生成ARR的方法就是降低NU且增加NK，當最終NU等于0時，便可得到系統的一個ARR。消除未知變量的方法是根據鍵合圖模型的因果關系進行推導，將未知變量用已知變量進行表示；

3）對下一個節點采用第二步中的方法生成ARR；

4）如果提取的ARR與之前生成ARR是線性無關的，則保留。若線性相關則去除，不予以考慮；

5）重復上述步驟，直到鍵合圖模型所有的節點都進行了上述分析，則獲取了系統的相互獨立的ARRs。

3.3 故障特征矩陣

對ARRs進行分析需要對殘差進行評估。在多數情況下，ARRs的表達式中多含有傳感器測量信號，因此，在對殘差進行評估前一般需要通過適當的過濾器進行預處理。殘差的獲得是通過將參數值以及測量值代入ARR表達式所得的數值，即

當某個殘差的表達式中包含了系統部件的參數，就可認為該殘差對某部件是可診斷的。當系統無故障時，每一個計算的殘差都應該與系統那個的行為相一致，即殘差的絕對值應該始終在一個比較小的閥值εi之內。假設系統有m個ARRs，則可得到用于故障診斷與隔離的二進制形式的向量其中，ci由如下所示的判斷依據獲得：

當系統正常運行時，向量C應該為零。當系統發生故障時，向量C的一個或多個值變為非零。在獲得系統的m個ARRs后，可生成系統的故障特征矩陣（Fault Signature Matrix，FSM），用來判斷故障候選集并隔離故障源。表1所示為一典型的故障特征矩陣，其中r1，r2，…，rm為系統各殘差，θ1，θ2，…，θp表示系統各設備對應的參數，Db和Ib隔分別表示設備故障診斷的可診斷性和故障可隔離性。矩陣中的每個元素定義如下：

表1 故障特征矩陣FSM

4 應用

圖2 兩容水箱系統圖

圖2所示為一個兩容水箱系統結構示意圖，系統有兩個水箱T1和T2，兩個閥V1和V2分別用來控制兩水箱之間的通斷以及水箱T2的泄放，水泵以Qp的流量給水箱T1供水。

圖3 兩容水箱系統鍵合圖模型

圖3所示為兩容水箱系統鍵合圖模型，圖中的四個傳感器 De1、De2、Df1和 Df2為本文的研究對象，因為是虛擬的傳感器，因此采用虛線表示。在不考慮傳感器與執行器的故障的情況下，問題簡化為在上述四個傳感器中選擇數量最少的傳感器組合，以實現水箱T1和T2，閥V1和V2的故障診斷與隔離。

在系統鍵合圖模型的基礎上，選擇與傳感器相連接的節點推導ARR，得到系統的一組線性無關的ARRs，并進行系統故障可診斷性分析，定義：

則根據01節點的約束方程有

式中：s為拉普拉斯變換。對于11、02和12節點分別有

根據各節點的約束方程，可以推導出系統的所有可能的ARRs為

對于[x1x2y1y2]1=[1 1 0 1]1的傳感器布置方式，系統ARRs為

其對應的特征故障矩陣如表2所示，Mb和Ib分別表示部件的故障可檢測性和故障可隔離性。從表2可以看出，四個部件均有殘差與之對應，并且其組合都是線性無關的，因此采用該傳感器配置方法可以實現各部件的故障診斷與隔離。

表2 ［1101]1傳感器布置系統故障特征矩陣

對于[x1x2y1y2]1=[1 0 1 1]1的傳感器布置方式，系統ARRs為：

其對應的特征故障矩陣如表3所示，從表中可以看出系統中各部件的故障都是可檢測和可隔離的。

表3 ［1011]1傳感器布置系統故障特征矩陣

基于式（14）的系統ARRs表達式，通過對不同傳感器配置方案的系統特征故障矩陣進行分析，由表4給出了所有兩個和三個傳感器的配置方案以及其部件的故障診斷特性。從表中可以看出，只有兩種三傳感器的配置方案是滿足要求的，從而可以得到系統的最優傳感器配置方案。

表4 各傳感器布置方案系統診斷特性

5 結語

本文主要研究了基于鍵合圖模型的解析冗余關系法在系統傳感器布局中的應用，并以兩容水箱為例，設計建立了兩容水箱的系統鍵合圖模型，利用鍵合圖模型推導系統ARRs，建立了系統故障特征矩陣，得到在滿足系統主要部件故障可隔離條件下的傳感器最優布局方法。