淺議初中數學“學材再建構”的實施

施獻

[摘? 要] 教學行為的有效展開，不僅要基于教材，還要變通教材，要將教材資源充分地開放、巧妙地整合、科學地再建構，以此滿足所教學生的發展需要，也以此滿足教材價值的達成. 為此，在常態的教學行為中，“學材再建構”成為當下常態備課和課堂研究的一項課題，也成為一項評價標準.

[關鍵詞] 學材;再建構;初中數學;價值

“學材再建構”是指，教師依據學習目的，參照教學任務，在不否認大綱及教材的前提下，適當對各種主觀性和客觀性的學材進行增刪、重組，使之更適合學生的接受及發展. 其中，主觀性學材主要包括課標、課本、練習冊、教師指導用書等看得見的顯性資源，客觀性學材主要包括學生的已有知識水平、學生的學習態度、學生的個性特點、師生關系等不易“察覺”的隱性因素. 學材再建構打破了傳統教學“照本宣科”的模式，是一種能夠真正實現自主學習、知識生成的教學方式. 下面筆者結合“相似三角形的性質（1）”（蘇科版九年級下冊第六章）的設計及教學片段，就如何實施“學材再建構”，談談自己的想法.

學材分析

相似三角形的性質是在學生學習了相似三角形判定的基礎上從相反的角度探究兩個三角形的特殊關系，是相似三角形的重要內容，也是整個初中數學中解決與相似有關的幾何問題的重要知識. 學習的內容包括：相似三角形本身對應邊、對應角之間的關系，及派生出的對應高、對應中線、對應角平分線、周長、面積之間的關系，課本將該部分內容分為兩個課時，第一課時是相似性質內容的推導，包括相似多邊形的性質;第二課時則是相似性質的實際運用.

學生已經系統地學過了“全等三角形”一章，對由判定到性質的思維角度、推導方式已有所了解，所以有關相似三角形的對應角、對應邊之間的關系完全可以交由學生自主建構，由相似三角形的性質推導相似多邊形的性質也可以由學生自主實現，但是有關對應高、對應中線、對應角平分線、周長、面積之間的關系則需要教師的引導.

學材重組

根據對教學內容及學生的分析，筆者對學材進行了如下重組：

（1）將課本中對該部分內容的劃分進行重新調整，即第一課時便完成相似三角形性質的推導及簡單運用，第二課時則對此進形強化.

（2）將“相似多邊形的性質”的推導移至第二課時，并且不花費時間來推導，而是以問題的形式呈現，讓學生自行領悟.

（3）相似三角形對應邊、對應角的關系讓學生自主探究、自己歸納.

（4）以問題的形式引導學生探究相似三角形對應高之比，進而推導對應中線、對應角平分線之比.

（5）以小組合作的形式讓學生探究相似三角形的周長及面積之比.

1. 類比遷移，引入新知

該環節是教學的引入環節，新舊知識類比是常用的引入方法. 進行類比，能讓學生體會到知識之間的聯系，從而找到本節課的學習方法與思維方向.

引入：由圖形的定義到判定定理的推導，再到圖形性質的歸納，是研究幾何圖形的基本思路. 正如全等三角形，我們首先知道了全等三角形的定義，認識了全等三角形，接著學習全等三角形的多種判定方法，最后從另一個角度解讀圖形，對三角形的性質進行推導. 對于相似三角形，我們同樣可以用這樣的思路來進行探究.

問題1 如圖1，已知△ABC∽△A′B′C′，根據相似的定義，我們可以得到哪些結論？

（完成方式：學生獨立思考后自由回答）

生1：這兩個三角形的形狀一樣，大小不一樣.

生2：這兩個三角形的對應邊之比相等.

生3：這兩個三角形的對應角相等.

歸納：相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，即對應邊之比等于相似比.

（教師進行相應的板書）

設計意圖 由全等三角形的學習過程引入教學，是為了讓學生感知知識之間的內在聯系，學會知識遷移;以簡單的問題展開教學，是為了讓學生對學習本節課的內容充滿信心，同時讓學生找準學習本節課的方向，知道本節課需要研究的問題. 問題雖簡單，卻是本節課的重點. 以提問的方式讓學生自己總結而非灌輸，這樣能激發學生的學習主動性.

2. 解決問題，發現新知

該環節是讓學生運用簡單的知識，在此基礎上發現新結論，凝練新知識，是一種知識的自然生成過程. 知識的生成過程即學生對學材的再建構過程.

問題2 如圖2，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，你能求出它們的對應高AD與A′D′之比嗎？請你用學過的知識解答這個問題.

生1：將AD與A′D′分別看成是△ABD與△A′B′D′的邊，由兩角對應相等可以判定△ABD∽△A′B′D′. 再根據“相似三角形的對應邊之比等于相似比”即可得到==k.

師：很好，你巧妙地將這兩條高看成是兩個三角形的邊，利用相似的判定及性質準確地求出了AD與A′D′之比.

師（追問）：我們從這個問題中可以總結出什么結論呢？

生2：相似三角形的對應高之比也等于相似比.

師：非常好，相似三角形的又一個性質被我們發現了.

問題3 高是三角形中的特殊線段，我們知道，除了高以外，三角形中還存在著另外的特殊線段，那你是否還能發現新的結論呢？

學生經過思考、證明，發現了相似三角形對應的角平分線、中線之比也等于相似比.

教師板書：相似三角形對應高之比、對應中線之比、對應角平分線之比都等于相似比. 即相似三角形的對應線段之比都等于相似比.

設計意圖 讓學生直接發現相似三角形的對應線段之比等于相似比較為困難，因此以問題的方式進行引導. 問題2的設置是對性質1（即相似三角形對應邊之比等于相似比）的簡單運用，教師只設置了一個問題，從問題解決的過程中得出結論并歸納，這些都是知識的自然生成過程. 學生是主體，這個過程體現了學生對學材的建構.

3. 合作互學，構建新知

合作互學是實現自主學習的重要途徑. 學生通過異質分組進行小組合作學習，能相互促進，相互影響，能利用小組的智慧凝練問題、構建新知.

問題4 如圖3，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，那你能計算出的值嗎？

（完成方式：學生獨立完成，學生代表展示成果）

生1：我根據這兩個三角形的相似比為k，將AB，BC，CA分別用kA′B′，kB′C′，kC′A′來表示，代入原式，化簡后即可得到=k.

師：非常好，請分別用文字和符號表示你所得到的結論.

生1：相似三角形的周長之比等于相似比. 用符號表示為，如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，那么C ∶ C=k（教師進行相應內容的板書）.

問題5 你能否發現相似三角形中與相似比有關的其他元素之比呢？請和你的同伴一起探索.

（完成方式：小組合作完成，小組代表展示成果）

某小組的合作片段如下.

生1：我們已經探究了相似三角形的邊、中線、高、角平分線、周長之比，還有什么沒有探究過呢？

生2：應該還剩面積吧.

生3：對，我也覺得是面積. 相似三角形的面積之比也等于相似比.

生1：應該也是這個結論吧.

生4：面積比怎么會和相似比相等呢？它們的高之比是相似比，底之比也是相似比，乘起來應該是相似比的平方才對吧.

……

生1、生2、生3即刻在草稿紙中進行推導、證明，最終統一結論：相似三角形的面積之比等于相似比的平方.

各小組的展示內容如下.

生2：我們小組發現了相似三角形的面積之比等于相似比的平方. 用符號表示為，如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，那么S ∶ S=k2.

（教師進行相應內容的板書）

生5：我們小組還發現了相似三角形中的對應線段之比與相似比都是相等的，這個對應線段不一定是中線、高、角平分線，可以是一條邊的三等分點與相對頂點的連線等.

生6：我們小組還發現，將一組相似三角形的兩個三角形分別以相應中位線進行分割，分成一個小三角形和一個四邊形，這兩個小三角形是相似的，這兩個四邊形也是相似的，并且它們的相似比和原來的大三角形的相似比相等.

……

設計意圖 該環節設置的兩個問題，問題4具有一定的引導性，能引導學生的思考方向，問題5是開放性問題，能讓學生通過問題4的指引找到思考問題的方向，同時也給學生提供了拓展的平臺，讓學生自己主宰知識，凸顯了“學材再建構”的實質.

4. 簡單應用，鞏固新知

“以題固知”是新授課的重要環節，目的是通過解決問題達到對所學知識的鞏固. 新授課中的試題以鞏固知識為主，因此難度不需要太深，應以基礎題為主. 下面是“相似三角形的性質（1）”的課堂練習題.

1. 已知兩個相似三角形的相似比為2 ∶ 3，則它們的對應角平分線之比為______，周長之比為______，面積之比為______.

2. 已知△ABC∽△A′B′C′，且BC ∶ B′C′=3 ∶ 4. 若△ABC的周長為9 cm，則△A′B′C′的周長為______cm;若△A′B′C′的面積是16 cm2，那么△ABC的面積是______cm2.

3. 將三角形的每條邊都擴大到原來的5倍，那么新三角形的面積將擴大為原來三角形面積的______倍.

4. 順次連接三角形三邊的中點所構成的三角形的高與原三角形對應的高之比為_______.

5. 如圖4，DE∥BC，AG⊥BC于點G，交DE于點F. 若AD=6，BD=4，AG=8，求AF的長.

設計意圖 本節課是“相似三角形的性質”的第一課時，所以選取教材中的簡單問題，將深一層的問題移至第二課時，這樣更符合學生對知識的接受規律.

“學材再建構”的過程有時是顯性的，在教師的掌控之中，有時又是隱性的，教師無法察覺，但它卻真實存在于教學過程中. 建構的過程有時可以預設，即教師根據學材進行計劃和設想，有時無法預設，而是在學生的學習過程中自然生成的. 學生的自學、小組的合作是“學材再建構”的載體，因此教師在教學中要將關注點置于學生的參與度與主動性上，只有這樣，才能凸顯“學材再建構”的實質，也才能更好地服務學生.