關注三個結構，理解數學教學

陶春鋒

無論是我們正身處其中的課程改革，還是即將面對的核心素養，都離不開一個基本的前提，那就是對學科教學本身的認識. 經驗視角下，教師對學科教學的認識，僅僅是對學科知識教學以及應試關系的認識，而這樣的教學顯然不足以支撐教師教學. 準確地說，其既無法支撐自身對所教學科的理解，同時也不能有效地引領學生對學科以及學科學習的準確理解. 研究表明，對學科教學的理解，離不開對三個結構的認識，這三個結構分別是：知識結構、認識結構以及認知結構. 而布魯納等人的認知觀點認為：學生的學習過程是學生原有認知結構中的有關知識和新學習內容相互作用（同化），形成新的認知結構的過程[1]. 本文試以初中數學為例，談談如何在此三者認識的基礎上，更好地實現對數學教學的理解.

知識結構，彰顯學科知識的邏輯體系的認識

數學知識都是以一定的形式存在的，不同數學知識之間是靠邏輯關系連接的. 簡單點說，數學知識結構是由數學概念和命題構成的數學知識體系[2]. 在這個架構中，存在著基本的結構通常有三種，一是序結構，二是代數結構，三是拓撲結構，初中數學通常只研究其中的代數結構并且是其中最基本的代數結構. 當然，在這個知識結構中也存在著基本的數學思想方法，其作為數學知識結構中用以保障不同數學知識之間聯系性、整體性與層次性的重要，因此有著不可忽視的價值.

以“解一元一次方程”的教學為例，從知識結構的角度看本課的內容，筆者以為需要以一元一次方程這個知識點為中心點，關注與其相關的其他知識及其表現出來的結構關系，具體說包括這樣的幾個方面：

一是居于中心點的一元一次方程. 要解一元一次方程，當然需要關注一元一次方程的中心地位，此前學生已經學過算式與一元一次方程的關系，知道了一元一次方程是與算式地位相同但卻可以更便捷地體現數量之間的等量關系的表現手法，其與算式不同之處在于需要借助于一個未知數來建立等量關系.

這樣的認識對于學生來說是重要的，因為只有明確了這個關系，才能理解求解一元一次方程的本質，就是利用等量關系確定未知數的值. 根據筆者的教學經驗，這樣的理解對于習慣于機械模仿（設x）的學生來說，極為有益.

二是等式的性質. 既然要借助于等量關系來解一元一次方程，那很顯然其中所要運用到的邏輯關系，主要就是借助于等式的性質來進行的. 在解一元一次方程之前，有專門的等式的性質這一內容呈現，這實際上就意味著兩者之間是有密切聯系的，是以一元一次方程為中心點的知識結構中的兩個具有直接聯系的知識點.

而對于學生來說，利用等式中的“等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍然相等”這樣的等式的性質，就可以完成對一元一次方程的變形，從而為解方程提供空間.

三是解方程的基本思路與方法. 通常情況下，解一元一次方程教學的第一個內容，就是利用合并同類項和移項的方式，而要掌握這一基本思路與方法，教師創設情境是必需的. 從這個角度講，其實問題情境也算是知識結構中的一個組成部分. 而稍有經驗的教師都知道，這個情境其實就是簡單的一元一次方程賦予實際生活中的事物關系，然后讓學生去求解.

對于學生來說，具有一定情境支撐的問題，可以讓學生直接利用形象思維進行加工，這對于初中學生來說尤為重要，因為初中學生本就擅長于形象思維，具有情境支撐的知識教學中，學生更容易掌握一元一次方程解決的基本思路與方法.

認識結構，面向數學學習過程中的心理過程

相對于客觀的知識結構而言，認識結構則具有更多的主觀特征，因為知識結構映射在學生的思維當中，并體現為認識結構時，其與學生的學習過程密切相關，說得更具體一點，就是與學生學習過程中的心理過程密切相關.

有研究者將認識結構描述為“人在認識活動中的心理過程和個性差異”，其中心理過程包括感覺、知覺、思維、記憶、注意等，而個性差異則是指性格與能力. 很顯然，只有良好的認識結構才能支撐起學生理解知識結構并形成認知結構（下一點詳述）. 那么，如何認識初中數學學習中的認識結構呢？這里仍然以“解一元一次方程”為例來進行解構.

在給學生創設了問題情境之后，學生首先要運用注意心理，因為對情境的注意，是學習發生的基礎. 這提醒我們在創設情境的時候，要以學生感興趣的素材為載體，如人教版課本上利用的是學校購買計算機的例子來給出問題情境的，實際教學中可以轉換為學生更感興趣的購買近期老師布置的某個書籍、班級統一的服裝等，同時要注意情境題材又不可過于新穎，因為這反而容易分散學生的注意力，使得注重的注意力從解方程向素材本身集中，這是得不償失的，因此情境創設切忌嘩眾取寵.

保證了注意之后，教師就需要關注學生學習過程中的心理加工過程. 對解一元一次方程而言，學生首先要尋找問題中的等量關系進而建立方程，如上例中“某班圖書角三年購書140本，其中去年是前年的2倍，今年是去年的2倍，那這三年分別購書多少本？”這個例子中建立的等量關系就是x+2x+4x=140（設前年購書為x本）. 這個等量關系中，要求x并不難，其對于尋找解一元一次方程所需要的合并同類項方法的認識是有好處的，因為學生幾乎通過直覺就可以發現需要將等式左邊的三個包含x的項進行相加，因此這里教師要引導的就是將學生產生的“相加”認識，提升為“合并同類項認識”，如此即可以豐富學生的認識結構. 至于移項，顯然需要的是一個新的情境，其具體操作過程與此類似，不再贅述.

其實在研究認識結構的過程中，教師還有一個關注點不能忽視，那就是學生之間的個體差異. 這是一個我們常常掛在嘴邊的詞，但卻未必真正懂得如何去描述學生的個體差異. 筆者以為在初中數學教學中，個體差異不是用學生的解題結果與考試分數來描述的，而是用觀察力、記憶力、思維力、想象力來描述的. 同樣的情境提供之后，教師要關注不同學生在觀察、體驗情境時所表現出來的差異，要比較不同學生的思維結果并反推其思維過程，以發現思維發生錯誤者是如何思維的，從而可以為學生的錯誤思維準確把脈. 當然，如果要從經驗角度去比較學生的數學學習差異的話，教師還可以從學生的思維活躍程度、想象力是否豐富、記憶內容的多少等角度來進行判斷，這樣的選擇可以讓經驗與學生的心理因素結合起來，從而對更多的教師具有適應性.

認知結構，學生學習中認識水平的組織方式

認知結構應當是數學教師比較熟悉的一個概念，數學認知結構是數學知識結構與學生個體心理結構相互作用的產物[3]. 其實這個概念是與學習心理學密切相關的，因為認知本身就是一個心理學概念，認知結構與知識結構不同之處在于，前者是客觀存在的結構，數學發展到一定階段，其總是以一定的結構形式存在的;而同樣的知識結構，在不同學生個體的認識結構作用之下，最終表現出來的認知結構是不同的. 客觀地講，學習優秀者，其認知結構與知識結構是較為接近的，而學困生的認知結構則多是殘缺不全的，是不利于在問題解決需要的情況下調用的. 但無論是面對資優生，還是面對學困生，提高他們數學學習成績乃至于培育他們的數學學科核心素養，完善認知結構總是最根本的方法.

認知結構的形成主要有兩種形式：一是同化，一是順應. 前者是以已有的認知結構去吸納新的知識，其中的知識點以及方法都是學生熟悉的;后者是原有的認知結構不足以解決新的問題，因此需要對原有認知結構做出改變，以適應新的問題情境. 其實看到這里應當發現，不同學生在面對同一個問題的時候，所選用的形式往往是不同的，極有可能出現資優生同化而學困生順應的情況，原因就是學困生的認知結構不完整，需要做出調整，而如果無法及時做出調整，即無法完成順應的學習過程，那學困生將繼續學困下去.

所以說，在初中數學教學中，幫學生完善數學知識的組織方式非常重要，教師往往要面向中下等學生設計教學，以確保他們能夠在不斷的學習中使自己的認知方式得到完善，使自身的認知結構得到充實與發展. “解一元一次方程”的教學中，一定要遵循循序漸進的方式，老老實實地給簡單情境，讓學生列方程，并根據等式的性質去求解. 而在總結解方程的流程“合并同類項——化系數為1”的時候，更要讓所有學生參與，并形成一種模式化的思路，這樣學生才能“入模”，待學生的認知結構完善之后再“出模”，那解方程的思路就會內化了，解方程的技巧也會更熟練了.

參考文獻：

[1]徐希揚. 數學教學中學生認知結構的優化[J]. 中學數學研究，2011（7）：3-4.

[2]徐進勇. 教學設計要重視知識結構向認知結構轉化——以蘇教版“導數的應用（函數的單調性）”為例[J]. 上海中學數學，2016（10）：6-8.

[3]學吳琳.論數學認知結構及其教學構建[J]. 中學數學教學，2003（6）：9-10.