關注圓類問題，突破知識聯系

陳文峰

[摘? 要] 圓作為初中數學的基礎圖形之一，具有很強的識別性，中考對其內容的考查常從知識聯系角度進行，求解時需要準確把握圖形的結構特點，依據知識聯系開展合情推理. 文章對圓類考題進行總結探討，提出相應的教學建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 圓;位置;面積;函數;最值

圓類考題是中考數學的重要題型之一，該類考題具有知識聯系性強、類型多、解法思路獨特等特點，求解時除了需要充分利用圓的性質和定理外，還需要掌握模型構建的策略. 下面筆者將深入探索幾種圓類問題，并開展相應的教學探討.

圓類問題的常見類型

1. 關注圓與直線的位置關系

對于圓與直線的位置關系的考題，難點在于用數學語言描述其位置關系，以及探索出因位置關系引起的相應變化. 解決此類問題時，要利用相應的公式、定理，將條件串聯起來.

方法點撥直線與圓的位置關系無非三種，即相切、相離和相交，難點在于相交與相切這兩種關系的判斷，常用的方法有兩種：一是代數法，即構建圓與直線的聯解方程，通過討論方程解的個數加以判斷;二是幾何法，通過求解圓心到直線的距離，并將其與圓的半徑比較，從而得到結論. 另外，還可以從幾何構造的角度進行分析，即在交點處構建幾何模型，通過求解相應的角度來加以判斷.

2. 關注圓類問題中的面積

圓作為幾何中較為特殊的圖形，求解與其相關的面積問題時往往有一定的難度. 求解時，不僅需要求圓弧的半徑，還需要求得相應的圓心角的度數，尤其是與圓相結合的復合圖形的面積求解，因無法直接利用面積公式，所以很容易造成學生思維停滯. 實際上，求解此類問題往往需要采用割補的方法，巧妙地將所求圖形轉化為特殊圖形的組合.

方法點撥與圓有關的陰影部分面積問題，圖形雖然較為復雜，但從圖形組合的角度來看，可以將其視為規則圖形的組合，因此可采用面積割補的方法來求解. 對于雙重復合圖形，則可以考慮多次運用割補法，直到將其拆解為規則的圖形. 求解時，需要準確地利用扇形的面積公式，注意與弧長公式相區別.

3. 關注圓與三角函數的綜合

初中講解三角函數時，是將其放在直角三角形中，利用直角三角形邊的長的比值來加以詮釋的，因此，對于圓與三角函數的綜合題，同樣需要借助直角三角形來構建模型，以獲得其中關鍵線段的長. 而對于求解圖形中的三角函數，則需要逆向思考，構建直角三角形模型，將問題轉化為求線段的長，從而獲得答案.

方法點撥例3借助三角函數值求解圓類考題中的線段長，分析求解過程可知，在圖形中構建直角三角形，將三角函數值轉化為圖形中邊的長的關系是解決問題的關鍵. 直角三角形構建的方式有很多，但在構建時需要結合具體的情形，盡量聯系已知線段.

4. 關注圓中的線段最值

考查圓時，試題常與其他幾何圖形相結合，因此圓類問題具有很強的綜合性，涉及眾多的幾何參數，如角、線段、點等，有時研究幾何線段常從最值角度進行考查，即以線段長為基礎，要求學生結合圓的公式、定理等來探求線段的最值.

方法點撥例4是與圓有關的線段最值問題，由于動點在圓弧上，所以造成了線段長的變化. 分析此類問題時，需要充分應用圓上各點到圓心距離均相等的特性，利用點與圓心的連線來完成最值位置的確定.

圓類問題的教學建議

圓的知識內容具有很強的包容性，上述只是其中的幾種典型代表，無論是探討位置關系、復合面積，還是研究三角函數、線段最值，都需要從基礎知識入手，把握知識聯系，構建完整的條件鏈，這是解題的基本策略. 下面，筆者結合教學實踐提出幾點建議.

1. 關注圓的基礎內容教學

圓類問題的求解基礎是充分掌握圓的基礎知識，考慮到圓與其他棱角類圖形有鮮明的差異，所以在學習時首先需要引導學生掌握圓構建的條件（不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓），然后指導學生掌握圓的幾何元素和關鍵內容（圓心、半徑、直徑、周長和面積等），最后從幾何證明角度幫助學生理解圓的相關定理及推論（垂徑定理、圓心角定理等）. 圓的知識內容較多，具有一定的層次性，因此教學中教師要注意加以分類，構建相應的知識體系，逐步強化學生對圓的理解.

2. 關注圓類問題的輔助線添加

中考對圓的考查常從知識綜合的角度進行，圖形相對較為復雜，因此求解考題的關鍵一步是依據條件添加輔助線，構建相應的解題模型. 輔助線添加得是否合理，將直接影響問題的簡化程度，以及論證表述是否簡潔. 實際上，添加輔助線的過程就是對考題結構透析的過程，是構建條件與問題聯系的過程，該過程需要教師采用合理的方式來引導. 教師在教學中要注重幾何直觀性的講解，指導學生對幾何圖形的特征、結構進行觀察、總結，并展開合理的聯想，逐步探索解決問題的方案，使學生逐步掌握輔助線添加的方法，形成完整的構建思路.

3. 關注圓類問題的思想滲透

圓類綜合題求解的背后是思想方法的解題指導，無論是模型的構建，還是問題的轉化，都是在數學思想的指導下進行的，即思想指明方向，思想決定思路. 因此，要從根本上提升學生的解題能力，就需要在教學中不斷地滲透數學思想方法，使學生掌握運用思想方法構建解題思路的策略. 數學思想是相對抽象的概念，在實際教學中，需要教師結合具體的內容，遵從特定的知識規律和方法基礎，如拋物線內容的數形對照，代數解題的方程構建，抽象問題的數學轉化等，并通過具體的內容講解，使學生掌握數學運用的步驟和技巧，深刻感受思想方法解題的思維之美、簡約之美.

總之，圓類綜合題是基于知識聯系所構建的，求解的關鍵是利用基礎知識構建條件與問題之間的聯系，合理轉化，巧妙建模. 整個求解過程要注重思維的嚴謹性和邏輯性，以圓類知識作為解題思路的生長點，植入思想方法，探尋知識融合.