初中數學問題解決策略研究

張磊

【摘要】初中數學問題解決策略，是引導問題解決者對信息進行操作變形，使目標狀態與起始狀得以連接起來的程序性知識，具體內容為“明確目標狀態→明確起始狀態→設計解決方案（搜索已有圖式→改造圖式→匹配圖式）→執行解決方案→反思歸納拓展”五個環節.在初中階段，執行問題解決策略，通常能完成各類初中數學問題的解決.筆者十多年的教學實踐，已充分證明了初中數學問題解決策略的有效性.

【關鍵詞】問題解決策略;認知分析

一、問題解決概述

問題是這樣一種情境：起始狀態A，目標狀態B，且A→B的轉化途徑未知或不夠清晰.問題解決是依據陳述性知識和程序性知識，對信息進行操作變形，最終使起始狀態A與目標狀態B得以連接起來的信息轉化過程.問題解決策略是在連接A與B的過程中，引導信息進行操作變形的程序性知識.

問題解決策略包含兩大類：算子式和啟發式.算子式屬于強的問題解決策略，通常情況下執行算子后，都能使問題得到解決.

啟發式屬于弱的問題解決策略，執行完程序性知識后，不一定保證問題得到解決，但其具有高效和快速的特點，能提供重要的問題解決思路.

二、初中數學問題解決策略

第一階段，明確目標狀態，確定其類型.初中數學問題，可辨別為“列解方程（組）求值、列解不等式（組）求取值范圍、確定函數解析式、邏輯推理、化簡求值”五大類.

第二階段，問題表征，明確初始狀態.通過標注，呈現出問題的初始圖式，利于與已知圖式的比較，為重組和變形奠定基礎.

第三階段，設計問題解決方案.1.搜索圖式：依據所辨別的初中數學類型，搜索類型下已有圖式.2.匹配重組圖式：（1）若起始圖式、目標圖式匹配已有圖式，則進入第四階段;（2）若起始圖式、目標圖式不匹配已有圖式，則依據已有相關圖式，對信息進行操作，重組變形，直至匹配已有圖式，進入第四階段.

第四階段，執行方案.執行已有圖式，并將初始狀態與目標狀態的連接過程規范地表達出來.

第五階段，復盤，歸納和拓展出新的知識.

圖式為：“明確目標狀態→明確起始狀態→搜索已有圖式→匹配重組圖式（若不匹配已有圖式→改造變形）→執行圖式（方案）→反思”.

三、初中數學問題解決策略應用示例

（一）類型一：邏輯推理證明

（2018年北京中考數學第27題）在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A，B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH.求證：GF=GC;

【認知分析】1.明確問題類型：邏輯推理之證明兩線段相等.

2.明確初始圖式：（1）圖式.

（2）言語描述：AD=CD，∠A=∠C=90°，A，F關于DE對稱.

3.設計解決方案：

（1）搜索邏輯推理類型下已有圖式：

① 言語描述：“等量代換”;對應圖式：AB=CD=m;

② 言語描述：“兩三角形全等，對應線段相等”;

對應圖式：△ABC≌△A′B′C′AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，BD=B′D′.

（2）匹配或重組圖式：無匹配圖式，則操作改造已知圖式，得到匹配圖式：① 連接DF，構造△DFG與△DCG，△DAE與△DFE;② 根據A，F關于DE對稱，△DAE≌△DFE，△DFG≌△DCG;③ 匹配“兩三角形全等，對應線段相等”圖式.

4.執行方案：執行“兩三角形全等，對應線段相等”圖式，并規范表達：

證明：如圖所示，連接DF，∵A，F關于DE對稱，∴△DAE≌△DFE，則DF=DA=DC，∠DFG=∠DAE=∠C=90°，DG公用，∴△DFG≌△DCG，則GF=GC（兩三角形全靠，對應線段相等）.

5.反思：證明“兩線段相等”的三種類型知識.

（二）類型二：列解不等式（組）求取值范圍

（2015年北京中考數學卷第29題）在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于O的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP+CP′=2r，則稱P′為點P關于C的反稱點，下圖為點P及其關于C的反稱點P′的示意圖.

當⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=-33x+23與x軸，y軸分別交于點A，B，若線段AB上存在點P，使得點P關于⊙C的反稱點P′在⊙C的內部，求圓心C的橫坐標的取值范圍.

【認知分析】

1.明確目標判態：列解不等式（組）求坐標數值的范圍.

2.明確初始圖式：① 言語描述：A（6，0），B（0，23），∠CAE=30°，∠CEF=90°，CP+CP′=2r，CE=12AC，CE

② 圖式略.

3.設計解決方案：

（1）搜索已有圖式：① 言語描述：解不等式組，求取值范圍.

②圖式：a1x+b1≤c1，a2x+b2≤c2M≤x≤N.

（2）匹配圖式：確定初始狀態與目標狀態均匹配“待定系數法”.

4.執行方案：解：設C（x，0），當⊙C在OA上時，作CE⊥AB于E點，有CE≤CP≤2r=2，且CA=2CE，∴（6-x）≤4，解得x≥2，當x=2時，C點坐標（2，0），E點的反稱點E′（2，0）在圓的內部.

5.反思：求取值范圍常利用列解不等式（組）知識.

（三）類型三：列解方程（組）求值

（2018年云南省初中學業水平考試數學第20題）已知二次函數y=-316x2+bx+c的圖像經過A（0，3），B-4，-92兩點.求b，c的值.