周期數列性質的應用

周延吉

【摘要】周期性是函數性質之一，數列是一類特殊函數，也具有周期性.本文運用函數類比研究了數列的周期性，探討了周期數列的一些簡單性質，并對性質加以應用.

【關鍵詞】數列;周期;周期數列

類比周期函數的概念，我們可以定義：對數列{an}，如果存在確定的正整數T及n0，使對一切n≥n0，恒有an+T=an成立，則稱{an}是從第n0項起的周期為T的周期數列.當n0=1時，稱{an}為純周期數列;當n0≥2時，{an}稱為混周期數列.T的最小值稱為最小正周期，簡稱周期.

通過對周期數列定義的進一步研究，類比周期函數的性質我們可以得到周期數列的一些如下簡單性質：

（1）周期數列是無窮數列，其值域是有限集.

推論1 若周期數列{an}的周期T≥2，則an的極限不存在.

推論2 若{an}不是常數列，且an的極限存在，則{an}不是周期數列.

（2）若T是{an}的周期，則對任何k∈N*，kT也是{an}的周期.

（3）周期數列必有最小周期.

（4）若T是周期數列{an}的最小周期，T′是其任一周期，則T|T′.即T′=kT（k∈N*）.

（5）值域是有限數集的無窮遞歸數列必是周期數列.

（6）已知數列{an}滿足an+t=an（n∈N，t為常數），Sn，Tn分別為{an}的前n項和與積.若n=q·t+r，0≤r

（7）若數列{an}滿足an=an-1-an-2（n∈N*，且n>2），則6是數列的一個周期.

（8）若數列{an}滿足an=aan-1-bcan-1-d，a+d=0，則數列{an}的周期T=2.

對上述定義、性質的應用舉例如下;

例1 已知數列{an}，a1=1，a2n=an，a4n-1=0，a4n+1=1（n∈N*）.

（1）求a4，a7;

（2）是否存在正整數T，使得對任意的n∈N*，有an+T=an.

解 （1）由題意知a4=a2=a1=1，a7=a4×2-1=0.

（2）假設存在正整數T，使得對任意n∈N*，有an+T=an.設T為其中最小的正整數.若T為基數，設T=2t-1（t∈N*），則a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4（n+t）-1=0.與已知a4n+1=1矛盾.若T為偶數，設T=2t（t∈N*），則a2n+T=a2n=an，而a2n+T=a2n+2t=a2（n+t），從而an+t=an，而t<T，與T為其中最小正整數矛盾.

綜上所述，不存在正整數T，使得對任意的n∈N*，有an+T=an.

例2 若數列{an}滿足an+2=an+1-an（n∈N*），Sn為{an}的前n項和，且S2=2 018，S3=2 010，求S2 008.

解 由an+2=an+1-an及性質（7），可知數列{an}是以6為周期的周期數列.由S2=2 018，S3=2 010，知a1+a2=2 008，a1+a2+a3=2 010，在結合a3=a2-a1，可以解出a1=1 003，a2=1 005，a3=2;由遞推關系式可進一步求得a4=-1 003，a5=-1 005，a6=-2，因為2 008=6×334+4，由性質（6）可以得到

S2 008=334S6+S4=334×0+1 007=1 007.

例3 設數列{an}中，a1=a2=1，a3=2，且對n∈N，有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3（anan+1an+2≠1）成立，求該數列100項和S100.

解 由已知條件，對任何自然數N*，有

anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，

把式中n換成n+1，得

an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，

兩式相減得an+1an+2an+3（an-an+4）=an-an+4，

因為an+1an+2an+3≠1，所以an+4=an（n∈N*），

所以{an}是以4為周期的周期數列，再由性質（6），得

S100=25S4=25×（1+1+2+4）=200.

【參考文獻】

[1]李正研.數列的周期性[J].中學生數理化（學習研究），2018（3）：49.

[2]徐廣華.關于周期數列的重要性質與結論的探究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2018（3）：2-4.

[3]劉培杰.數列的周期性[J].中等數學，2015（6）：17-19.