兩類齊次不等式的推廣

黃武　田潤麗

【摘要】本文將兩類特殊齊次不等式，推廣到m個變量的n次齊次不等式，并用算術-幾何均值不等式對其進行證明.

【關鍵詞】齊次;不等式;推廣

一、簡單結論

結論1：若a，b，c∈R+，則有

a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.

結論2：若a，b，c∈R+，則有

a5+b5+c5≥a3bc+ab3c+abc3.

以上兩個結論的證明過程詳見文[1].

筆者研究發現，以上兩類齊次不等式都可以推廣到m個變量的n次齊次不等式，為了方便證明，先引入算術-幾何均值不等式.

二、引 理

算術-幾何均值不等式：對n個任意的非負數ai（i=1，2，…，n），有

a1+a2+…+ann≥na1a2…an（1）

成立，當且僅當a1=a2=…=an時上式取等號.

令bni=ai（i=1，2…n），由引理得

bn1+bn2+…+bnn≥nb1b2…bn.（2）

當且僅當b1=b2=…=bn時上式取等號.

三、推 廣

將結論1推廣到m個變量的n次齊次不等式.

推廣1 設xj≥0（j=1，2，…，m），對任意正整數n，m（n≥m）有以下式子成立：

xn1+xn2+…+xnm≥xn-m1xm2+xn-m2xm3+…+xn-mmxm1.

證明 因為xj≥0（j=1，2，…，m），n≥m，根據（2）式可得

xn1+…+xn1（n-m）個+xn2+…+xn2m個≥nxn-m1xm2，

xn2+…+xn2（n-m）個+xn3+…+xn3m個≥nxn-m2xm3，

…

xnm+…+xnm（n-m）個+xn1+…+xn1m個≥nxn-mmxm1，

以上不等式兩邊分別相加得

xn1+xn2+…+xnm≥xn-m1xm2+xn-m2xm3+…+xn-mmxm1

即可證，當且僅當x1=x2=…=xn時取等號.

將結論2推廣到m個變量的n次齊次不等式.

推廣2 設xj≥0（j=1，2…m），對正整數n，m（n≥m）有以下式子成立：

xn1+xn2+…+xnm≥x1x2…xm（xn-m1+xn-m2+…+xn-mm）.

證明 因為xj≥0（j=1，2…m），n≥m，根據（2）式可得

xn1+…+xn1（n-m+1）個+xn2+…+xnm≥nxn-m+11x2…xm，

xn1+xn2+…+xn2（n-m+1）個+xn3+…+xnm≥nx1xn-m+12x3…xm，

…

xn1+xn2+…+xnm-1+xnm+…+xnm（n-m+1）個≥nx1x2…xm-1xn-m+1m，

以上不等式兩邊分別相加得

xn1+xn2+…+xnm≥x1x2…xm（xn-m1+xn-m2+…+xn-mm）

即可證，當且僅當x1=x2=…=xn時取等號.

三、特 例

例1 若a，b∈R+，對任意正整數n，m，有

am+n+bm+n≥ambn+anbm.

證明略.

例2 （1991年美國《大學數學雜志》第四期征解題）若xi≥0（i=1，2…n），則有

xn+11+xn+12+…+xn+1n≥x1x2…xn（x1+x2+…+xn）.

證明略.

本文對兩類齊次不等式進行了推廣，拓展了應用范圍.推廣的證明和結論，在部分齊次不等式的解題中，具有一定的實用價值.

【參考文獻】

[1]李再湘.讓思維充滿思想，讓思想充滿智慧——平均值不等式解題功能的挖掘[J].中學生理科應試，2003（9）：1-2.