高中解析幾何簡化計算之點乘雙根法

陳俊健

【摘要】高中解析幾何在求解圓錐曲線與直線問題的時候，通常需要聯立方程，利用韋達定理去求解.利用韋達定理進行運算求解時，稍不注意就容易出錯.在求解點乘或者斜率乘積為定值，甚至求x1x2，y1y2的時候，我們可以改進解法，引入點乘雙根法，避開韋達定理，簡化計算，減少失誤.

【關鍵詞】解析幾何;點乘雙根法;簡化計算

我們知道當二次函數有兩個零點的時候，可以寫成雙根的形式：y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）.在解析幾何中，出現PA·PB等于常數，可用點乘雙根法（其中P為已知點，A，B為直線與圓錐曲線的交點）.方法如下：聯立x2a2+y2b2=1，y=kx+m， 可得b2x2+a2（kx+m）2-a2b2=（a2k2+b2）（x-x1）（x-x2），接著對x用賦值法即可得到x1x2，y1y2或者（x1+t）（x2+t），代入PA·PB的等式求解即可.

點乘雙根法對比常規解法，其優點在于，避開利用韋達定理進行繁雜計算的過程，達到簡化計算、提高解題速度的效果，下面舉例說明.

例1 （2018年西南四省名校高三第一次大聯考）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F（1，0），過F且與x軸垂直的弦長為3.

（1）求橢圓標準方程.

（2）直線l過點F與橢圓交于A，B兩點，問x軸上是否存在點P，使PA·PB為定值？若存在，求出P的坐標;若不存在，說明理由.

解 （1）易得橢圓標準方程為x24+y23=1;

（2）當直線l的斜率存在時，設為k，則直線l的方程為y=k（x-1），聯立x24+y23=1，y=k（x-1），

得3x2+4k2（x-1）2-12=（3+4k2）（x-x1）（x-x2）.（Ⅰ）

設P（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

則PA=（x1-m，y1），PB=（x2-m，y2），

PA·PB=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-1）（x2-1）.（Ⅱ）

在（Ⅰ）中令x=m得

（x1-m）（x2-m）=3m2+4k2（m-1）2-123+4k2.（Ⅲ）

在（Ⅰ）中令x=1得（x1-1）（x2-1）=-93+4k2.（Ⅳ）

把（Ⅲ）（Ⅳ）代入（Ⅱ）并整理得

PA·PB=（4（m-1）2-9）k2+（3m2-12）4k2+3，

所以（4（m-1）2-9）4=3m2-123，得m=118，

此時PA·PB=-13564.

當直線l的斜率不存在時，A1，32，B1，-32，P118，0，仍有PA·PB=-13564.

綜上所述，P的坐標為P118，0.

評析 在（Ⅰ）式中聯立直線與圓錐曲線方程消y后，一定要把式子寫成雙根的形式，才能接著往后進行賦值求解.

例2 （2018年桂林市、賀州市高三聯合調研考試）已知點1，32在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，且橢圓的離心率為12.

（1）求橢圓C的方程.

（2）若M為橢圓C的右頂點，點A，B是橢圓C上不同的兩點（均異于M）且滿足直線MA與MB斜率之積為14.試判斷直線AB是否過定點？若是，求出定點坐標;若不是，說明理由.

解 （1）易得橢圓標準方程為x24+y23=1;

（2）當直線AB的斜率存在，可設直線AB的方程為y=kx+m（k≠0），聯立x24+y23=1，y=kx+m， 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=（3+4k2）（x-x1）（x-x2）.（Ⅰ）

由題意有M（2，0），設A（x1，y1），B（x2，y2），則

kMAkMB=y1y2（x1-2）（x2-2）=（kx1+m）（kx2+m）（x1-2）（x2-2）=k2x1+mkx2+mk（x1-2）（x2-2）=14.（Ⅱ）

在（Ⅰ）中令x=2得

（x1-2）（x2-2）=16km+16k2+4m23+4k2.（Ⅲ）

在（Ⅰ）中令x=-mk得

x1+mkx2+mk=3m2k2-123+4k2.（Ⅳ）

把（Ⅲ）（Ⅳ）代入（Ⅱ）并解得m=-2k或者m=4k.

當m=-2k時，直線AB的方程為y=k（x-2）過定點（2，0），與點M重合，不符合題意，舍掉.

當m=4k時，直線AB的方程為y=k（x+4）過定點（-4，0）.綜上所述，直線AB過定點（-4，0）.

評析 例2（Ⅱ）中需要求y1y2，但在（Ⅰ）式沒法用賦值法得到（kx1+m）（kx2+m）.因此需要把x1和x2的系數k提到括號前面，得到y1y2=k2x1+mkx2+mk即可.

通過上面兩道例題，我們可以比較詳細地了解到點乘雙根法的整個過程與優點.例1展示了常規的點乘雙根法，例2展示在處理過程中需要注意的細節.請讀者自行用傳統法求解上述兩道例題，對比點乘雙根法的優點.