關于求解兩個隨機變量函數的分布的方法研究

郭晉芳

【摘要】求兩個隨機變量函數的分布在概率論的學習中是一個重點內容，也有若干種解法，學生們掌握起來也比較困難，本文給出不同情況的兩個隨機變量的各種求解方法，并給出應用舉例.

【關鍵詞】二維隨機變量;分布函數;概率密度函數;分布律

一、引 言

在概率論與數理統計中，隨機變量分為三類——離散型、連續型及奇異型，但我們一般只需要掌握前兩類.兩個隨機變量X，Y的函數Z=g（X，Y）依然是隨機變量，則求解這個隨機變量的分布就是我們討論的一個關鍵問題，下面給出各種不同情況下，求解兩個隨機變量函數的分布的各種方法.

二、兩個隨機變量都是離散型

已知二維離散型隨機變量（X，Y）的聯合分布律，求解其函數Z=g（X，Y）的分布，通過直接分析便可以得到所求.

例1 設二維隨機變量（X，Y）的聯合分布律如表1所示，求Z=2X-Y的分布律.

三、兩個隨機變量都是連續型

（一）分布函數法

設二維連續型隨機變量（X，Y）的概率密度函數為f（x，y），已知Z=g（X，Y）是隨機變量（X，Y）的函數，求隨機變量Z的概率密度函數fZ（z）.

隨機變量的概率密度函數和分布函數有如下關系fZ（z）=FZ′（z），所以可以先求隨機變量Z的分布函數，求解過程如下：

FZ（z）=P{Z≤z}=P{g（X，Y）≤Z}

=P{X，Y}∈D：g（x，y）≤z

=g（x，y）≤zf（x，y）dxdy，

然后對分布函數求導得到概率密度函數fZ（z）=dFZ（z）dz.

（二）卷積公式法

設二維連續型隨機變量（X，Y）的概率密度函數為f（x，y），已知Z=g（X，Y）是隨機變量（X，Y）的函數，求隨機變量Z的概率密度函數fZ（z）.

當函數z=g（x，y）關于變量y嚴格單調，容易解得其反函數y=h（x，z），則有

四、一個隨機變量是離散型，一個是連續型

（一）全集分解法

設連續型隨機變量X，取有限值的離散型隨機變量Y，當X，Y相互獨立，求Z=g（X，Y）的分布函數時，對離散型隨機變量Y進行全集分解.

例3 設隨機變量X，Y相互獨立，X的概率密度函數為f（x）=e-x，x>0，0，else.

（二）結論法

設取有限值的離散型隨機變量X，其分布律為P{X=xi}=pi（i=1，…，n），連續型隨機變量Y，其概率密度函數為fY（y）當X，Y相互獨立.當函數z=g（x，y）關于變量y嚴格單調，則其反函數存在y=h（x，z）有連續導數，則Z=g（X，Y）是連續型隨機變量，其概率密度函數為

fZ（z）=∑ni=1pifY[h（x，z）]h（x，z）z，a

其中a是z=g（x，y）關于y的最小值，b是關于z=g（x，y）關于y的最大值.

例4 設隨機變量X，Y相互獨立，X的分布律為P{X=xi}=13（i=1，2，3）.Y的概率密度函數為fY（y）=1，0

解 因為z=xi+2y（i=1，2，3）是y的嚴格單調增函數，其反函數y=z-xi2，有導函數y′=12，由結論得

五、結束語

本文針對兩個隨機變量的函數的分布，分別對兩個離散型隨機變量，兩個連續型隨機變量及其一個離散型，一個連續型隨機變量的三種情況，給出了不同的方法，方便大家掌握：不同情形，應該應用不同方法解決問題.

【參考文獻】

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