矩陣等價、相似、合同的判斷

張慧芬　郭建敏

【摘要】本文主要給出了考研高數題型中，判斷矩陣等價、相似、合同的方法，并舉例說明該方法的使用.

【關鍵詞】矩陣;等價;相似;合同

【基金項目】山西大同大學校級科研項目（2015K5）;山西大同大學教改項目XJG2017109.

線性代數是高等學校經濟、理工類等專業的一門公共必修課，也是考研高數中常考的內容，學生在處理這一題型時，常常猜答案，一直沒有很清晰的思路來得出答案，本文就這三種矩陣關系的區別與聯系給出一些結論，希望在這一類問題上有所幫助.

一、概念描述[1]

等價：設A與B為m×n矩陣，存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B，則稱A與B等價.

相似：設A與B為n×n矩陣，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則稱A與B相似.

合同：設A與B為n×n矩陣，存在可逆矩陣P，使得PTAP=B，則稱A與B合同.

二、區別與聯系

1.等價只要求矩陣A與B是同型矩陣，不一定是方陣，但相似和合同要求矩陣A與B必須是同型矩陣中的方陣.

2.矩陣的等價、相似、合同實際都是矩陣之間的初等變換，只不過變換方式不一樣.

說明如下：

由可逆的充要條件，A可逆A=P1P2…PS，且P1，P2，…，PS是初等矩陣.

故等價的PAQ=B，即存在m階初等矩陣P1，P2，…，PS和n階初等矩陣Q1，Q2，…，Qt，使得

PS…P2P1AQ1Q2…Qt=B;

相似的P-1AP=B，即存在n階初等矩陣

P1，P2，…，PS，使得

P-1S…P-12P-11AtP1P2…PS=B;

合同的PTAP=B，即存在n階初等矩陣P1，P2，…，PS，使得

PTS…PT2PT1AtP1P2…PS=B.

三者都是相當于對A任意做有限次初等行變換和初等列變換.但是相似和合同做初等行變換和列變換的次數是一樣的，相似做一次列變換，再做一次相應的逆行變換，合同做一次列變換，對應地做一次同樣的行變換.

三、判 別

在判別矩陣的三種關系時，秩是等價關系的不變量，而相似和合同也是等價的，秩也不變，再結合特征值和正負慣性指數來區別相似和合同，注意合同僅限于對稱陣.

（1）矩陣A與B等價R（A）=R（B）.

（2）可以借助一些必要條件來判定矩陣不相似：

若A與B相似A與B有相同的特征值;

A與B有相同的跡;

|A|=|B|.

但如果以上的必要性成立，不再能說明矩陣的相似，這時一般利用取其重特征值時構成的矩陣的秩，即用R（A-λE）來進一步判定.

（3）對實對稱矩陣，有一些可以直接用的結論：

① 實對稱矩陣A與B相似A與B具有相同的特征值.

證明

A與B相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B.故

|B-λE|=|P-1AP-λE|

=|P-1AP-P-1λEP|

=|P-1（A-λE）P|

=|P-1||A-λE||P|=|A-λE|可知，特征值相同.

實對稱矩陣A與B有相同的特征值，存在正交矩陣使得A與B一定相似于相同的對角陣，由相似關系的傳遞性知，A與B相似.

證畢.

② 實對稱矩陣A與B合同二次型xTAx與xTBx具有相同正負慣性指數.

證明

A與B合同，即存在可逆矩陣P，使得PTAP=B.由于B是實對稱矩陣，故一定存在正交矩陣Q，使得

QTBQ=Λ=diag（λ1，λ2，…，λn），

∴Λ=QTPTAPQ=（PQ）TAPQ.

即A與B都合同于對角陣Λ.

∵xTAx=x=（PQ）yyT（PQ）TA（PQ）y=yTΛy，

xTBx=x=QzzTQTBQz=zTΛz.

可知二次型xTAx與xTBx具有相同正負慣性指數.

設Λ=Ep-EqOn-p-q，即正慣性指數為p，負慣性指數為q.

二次型xTAx與xTBx具有相同正負慣性指數，一定存在可逆的線性變換x=Py與y=Qz，使得

xTAx=yTΛy，xTBx=zTΛz，

所以A與B都合同于Λ，由合同的傳遞性知A與B合同.

證畢.

③ 實對稱矩陣A與B相似A與B合同.

證明 實對稱矩陣A與B相似，A與B具有相同的特征值，即存在正交矩陣P，Q，使得

PTAP=Λ，QTAQ=Λ.

從而（PQT）TA（PQT）=QPTAPQT

=QΛQT=Q（QTBQ）QT=B，

故A與B合同.

四、舉 例

例1 判定下列矩陣哪些等價、相似、合同.

A=111000000，B=110001000，

C=100000000，

D=000011011.

解 R（A）=R（C）=R（D）=1，R（B）=2.

所以A，C，D等價.

由R（B）=2≠1可以看出相似排除B，A，C的特征值是1，0，0.D的特征值是2，0，0.可以看出相似排除D.取二重特征值0時，3-R（A-λE）=3-R（A）=2，有兩個線性無關的特征向量，A可相似對角化，A與C相似.

合同只限于實對稱矩陣，觀察C，D的特征值.C，D的正慣性指數都為1，負慣性指數都為0，由②得C，D合同.

例2 （2018年考研題）已知矩陣

A=200020001，B=210020001，C=100020002.

則（）.

A.A與C相似，B與C相似

B.A與C相似，B與C不相似

C.A與C不相似，B與C相似

D.A與C不相似，B與C不相似

解答 可求出A，B，C的特征值都是2，2，0，且A，C都是實對稱矩陣，由①得A與C相似.對矩陣B，3-R（B-2E）=3-2=1，只有一個特征向量，B不可相似對角化，B與C不相似.所以選B.

【參考文獻】

[1]高志強，龐彥軍.線性代數[M].北京：科學出版社，2016.

[2]吳勃英.線性代數與空間解析幾何學習指導[M].北京：科學出版社，2004.

[3]智婕.矩陣等價、相似、合同的聯系[J].牡丹江師范學院學報，2011（76）：2-3.

[4]蔣衛華，王洪濱.線性代數教學中兩組概念的處理[J].大學數學，2005（21）：120-123.

[5]蔡鳴晶.矩陣的三個等價關系辨析[J].考試周刊，2014（68）：62.

[6]胡婷.論矩陣的三種等價關系[J].科教導刊，2012（32）：255-256.