建“模”塑“型”，循源得法

唐振宇

【摘要】：如何讓初中學生感知到數學分析是一個清晰可靠的研究過程，而非不斷糾錯和試驗的結果.體會到方法的運用是由于問題本身規律的必然，而非偶然所得.數學模型的運用能很好地解決這些問題.數學模型思想既符合數學基本思想，同時也是課程標準倡導的核心素養.

【關鍵詞】數學模型;解決問題;模型準備;模型假設;模型構成

具有了數學模型思想，容易發現事物的本質和發展規律，從而更容易找到最合理的解決問題的方法.

一、生活中的“模型”啟迪

“司馬光砸缸”是青少年熟悉的故事.這個事件中，安全模式是人水分離.解決的方法有：人離開水或水離開人.睿智的司馬光讓水離開了人.發現解決問題的模式，找到合理的解決問題的方法，正是值得學習的地方.

實際生活中還有哪些生活情境也契合這種模式呢？讓我們類比普通和野生動物園.這個問題中安全模式也是人和動物分離.所以做法也有兩個：把動物關進籠子是普通動物園;把人關進籠子（車子）就是野生動物園.

如果用數學的眼光來看這些能從中學習到什么呢？由問題本身規律產生解決問題的模式，結合已有條件找到正確解決問題的方法.筆者結合初中教學對此進行探究

二、教材中的“模型”探究

1.解決問題之前先要思考問題本身所產生的模式，這是初中數學課堂教學中引導學生思考的一個很重要的意識培養.也符合數學基本思想之一模型思想的要求.

蘇科版八年級（上）第六章“一次函數”的“一次函數的圖像”的內容談到直線的平移.一般就講上下移而不討論左右移.同時在處理直線上下移動時會讓學生作為一個公式記下，而忽略了問題本身的模型引導.確定一條直線模式常見的是：兩點確定一條直線.也可以引導學生探究另一種模式：過一點有無數條直線，過一定點并且方向確定的直線就只有一條.確定直線的模式還有點加方向.這樣在課堂上學生研究問題的方法就會多樣，數學就會變得更有趣.

例如，把函數y=2x的圖像分別向上、向下平移3個單位長度能得到什么函數的圖像？分別向左、向右平移又能得到什么樣的函數圖像？若讓學生當公式來記，向上平移得到函數y=2x+3的圖像，向下平移得到函數y=2x-3的圖像.那么學生在認知問題和解決問題層面就比較膚淺.對左右平移的問題很難解決.

如果學生已經認知到確定直線的模式還可以是點加方向（因為平移方向不變）.可以把平移后的直線都看作是 y=2x+b.只要得到平移后的點的坐標，就可以得到函數表達式了.當然這個點的坐標越簡單得到就越好.容易發現函數y=2x經過點（0，0）向上下左右平移3個單位分別是（0，3），（0，-3），（-3，0），（3，0）.這樣把平移后點的坐標分別代入函數y=2x+b表達式，就能分別求出b的值，從而得到函數y=2x的圖像向上、下、左、右平移3個單位得到的分別是函數y=2x+3，y=2x-3，y=2x+6，y=2x-6的圖像.在通過形上的觀察、數上的分析還能發現上下平移和左右平移還能互相轉化.

2.這個問題也能引導學生換個模式思考，能否根據兩點確定一條直線的模式來解決平移問題？在小結時也能引導學生發現，要確定一次函數y=kx+b的表達式要兩個條件，一般要得到兩個點的坐標.這也印證了兩點確定一條直線的合理性.當表達式確定時，會發現K的值和b的值也就確定了.而K決定函數圖像的方向，b的值決定函數圖像與y軸的交點位置，就也就說明點加方向的合理性，同時這兩個確定直線的模式是可以融會貫通的.

例如，（2017年南京數學卷）如圖所示，已知點P為∠ABC內一點，利用直尺和圓規確定一條過點P的直線，分別交AB，BC于點E，F，使得BE=BF.（不寫作法，保留作圖痕跡）

這題有很多種解法.如果能回到問題的本源，讓學生考慮下這類問題的常規模式，學生解決問題的能力會有較大的提升.

“問題情境”：作一條直線.

“建立模型”：（1）兩點確定一條直線;（2）點加方向確定一條直線.

“求解驗證”：由已知的模型就能發現，條件中已經有了一個已知點P，所解決問題的關鍵就是能在滿足條件的情況下再找到另一個點或是能過點P確定方向.

由此發現，培養學生的數學模型思想，可以讓學生有明確的目的去研究問題.如果學生經常處于一種盲目的探索，那在這過程中會充滿著焦慮和懷疑.這些情緒對初中學生數學學習是不利的，它會加大學生對數學的恐懼感和畏難情緒.在盲目探索下即使一時解決了問題，那也如袋中摸球游戲，最多培養學生的解題經驗，而不能上升為解決問題的能力，更不能培養學生數學思想，以數學眼光和視角去看待世界，解決問題.

三、教學中的“建模”研究

一般說來建立數學模型的方法大體上可分為兩大類：一是機理分析方法，一是測試分析方法.機理分析是根據對問題對象特性的認知、分析其因果關系，找出反映內部機理的規律.測試分析是由于問題的內部機理無法直接獲知，可以通過測量計算獲取輸入和輸出的數據，運用統計分析的方法按照事先確定好的準則，找出一個和數據擬合最好的模型.將這兩種模型結合也是常用的建模方式，用機理分析建立模型，用測試分析來驗證.

針對初中生的模型思想的培養主要是機理分析方法.數學建模是一個復雜的過程，在初中課堂沒有必要過高地去培養學生數學建模的能力，所以如何把握好尺度，既讓學生感知到數學模型思想的優點，又能讓學生易于接受，值得研究.

針對這個問題，筆者把建模過程在課堂上簡化為三個步驟：有什么？求什么？怎么求？

1.“有什么”是指分析條件.要求學生能對所給出的具體條件加以分析，并能對若干條件的組合加以分析.從而一步步了解問題的實際背景，為“模型準備”做好基礎.

2.“求什么”是指研究問題.要求學生根據以往的學習經驗，對所求問題的特性較全面的認知，分析其因果關系，找到問題成立的一般規律.為“模型假設”做好準備.

3.“怎么求”是指建立模式.要求學生能在分析條件所得到的“因”與解決問題的“果”加強雙向交流，分析和反思并用.找到“因”到“果”的那座橋梁，從而找到解決問題的模式.為合理地“模型構成”做好最關鍵的一步.

例如，（2018年南京市中考題）如圖所示，在四邊形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四邊形ABCD內一點，且OA=OB=OD.求證：（1）∠BOD=∠C;（2）四邊形OBCD是菱形.

分析建模過程：

1.“有什么”（模型準備）：由OA=OB=OD的條件，可得到：① 在直線形可以得到等邊對等角;② 解構圖形直接獲取∠BOD=∠ABO+∠BAD+∠ADO;③ 在曲線形可以想到一中同長的圓.

2.“求什么”（模型假設）：對∠BOD=∠C這樣的問題學生會有什么想法呢？學生會尋求什么樣的原因，而能讓∠BOD=∠C這樣的結果成立？比較容易想到的是：① 全等三角形對應角相等;② 角之間的轉化.

3.“怎么求”（模型構成）：模型假設中的全等能結合條件簡單的解決嗎？當這種想法和題目所給出的條件進行雙向交流時，就會發現全等的想法不符合實際情境.那角之間的轉化可行嗎？條件中有∠C=2∠BAD，所以只要能解決∠BOD=2∠BAD，就能最終解決問題.而在條件分析的過程中也為這種想法做好了準備.很多學生甚至能通過對圖形分析從中獲取基本圖形模式∠BOD=∠ABO+∠BAD+∠ADO.同樣也可通過建構圓的方法，讓圓心角∠BOD是圓周角∠BAD的兩倍.由此發現在“有什么”和“求什么”之間多相互交流，才有可能獲得合理的數學模型.

通過上述例子可以發現，對條件的分析而進行的“模型準備”，由問題尋因而進行的“模型假設”.從兩個方面讓想法不斷相互交流、互動，就能較容易形成合理的“模型構成”.這樣的分析過程能更全面的感知問題，從而更合理地形成解決問題的思路.

三、結 語

數學是門實踐性思維性很強的學科，要有較強的解決問題的能力.所以在平時教學中不僅僅是積累初中學生的解題經驗，從表象上去強化學生對知識記憶和問題的認知，更要注重學生模型思想的培養，這樣讓學生既在做法上有創新意識，又能領會到做法后事物的規律和模型的引領，從而提升學生解決問題的能力.而尋求感知到事物內部的發展規律從而獲取解決問題的思維模型，這就是數學的核心素養.

【參考文獻】

[1]季勇.一道中考數學模型的建模過程[J].中學數學研究（華南師范大學版），2014（10）：45-46.

[2]吳偉萍.淺析數學建模中創新意識培養[J].時代教育，2015（17）：221.