有關橢圓偏微分方程解的水平集的凸性研究綜述

【摘要】本文主要從研究背景、研究方法和研究現狀三方面介紹了對橢圓形偏微分方程解水平集的凸性研究.從微觀方法和宏觀方法的角度介紹，微觀方法是對滿足一定條件的偏微分方程在局部建立常秩定理，利用強極值原理結合連續性方法得到解的整體凸性;宏觀方法是利用弱極值原理證明解和解的凸包絡在滿足一定的結構條件下是相等的.對微分方程凸性的研究分為解本身的凸性研究和解的水平集的凸性研究，而解的水平集的凸性研究通常源自解的凸性，因此，解決解的水平集的凸性問題是更細致的問題.

【關鍵詞】橢圓形偏微分方程;凸性研究;極值原理

【基金項目】北京電子科技職業學院校內科技重點課題“有關一類橢圓偏微分方程解的微分不等式”（項目編號：000024-2018Z002-022-KXZ）.

一、研究背景

凸性研究是幾何研究的一項重要內容，作為一種幾何概念，在光滑情況下通過微分來描述，并且學者們對凸性的研究歷史悠久.橢圓形偏微分方程是一類非常重要的偏微分方程，它的解和解的水平集的凸性研究更是現代偏微分方程研究領域的一個關鍵內容.通過研究，人們逐漸發現方程解的存在和光滑性與解的凸性有很大關系，若方程的解本身就是凸的，那么其解的水平集也是凸的，證明解本身的某種凸性可以看成是證明解水平集凸性的一種間接方法.

在20世紀20年代，Caratheodory在平面凸區域上研究格林函數，得到了它的水平集是嚴格凸的.

1957年，Gabriel證明了在3維及n維凸區域中，算子-Δ 所對應的格林函數具有嚴格凸的水平集.其主要方法是引進一個“凹性函數”：

若u的水平集是凸的，則u的水平集的第二基本形式在整個區域內是常秩的.

2008—2010年，證明了一些低維Hessian方程的常秩定理，2011年，Chen、Ma和Shi研究了Monge-Ampère方程的解的水平集的曲率估計，對滿足齊次Dirichet邊值條件的方程

detD2u=1 in Ω，u=0 on Ω.

構造輔助函數H，由u的水平集的曲率κ和|Du|3產生，證明其在邊界處達到下界，然后應用極值原理得到對水平集的平均曲率和Gaussie曲率和的上界估計.

2015年，針對完全非線性的橢圓形Monge-Ampère方程detD2u=1，筆者對其在常曲率黎曼流形上有界凸區域中帶有0邊值Dirichlet條件下的嚴格凸解的水平集的凸性估計進行了研究.

上述對橢圓偏微分方程解的水平集的凸性研究背景，為我們今后繼續探討研究橢圓偏微分方程解的水平集的凸性奠定了堅實的基礎.

二、研究方法

通過對文獻的閱讀，我們知道研究橢圓偏微分方程解的水平集凸性方法很多.主要有解的凸性、常秩定理、凹性極值原理、擬凹包絡和曲率估計，我們把這些方法分為宏觀和微觀方法兩類.宏觀方法是利用弱極值原理研究解和解的凸包絡之間的關系，即在滿足一定的結構條件下利用弱極值原理證明解和解的凸包絡是相等的.而微觀方法則是利用強極值原理對滿足一定條件的偏微分方程在局部建立常秩定理結合連續性方法得到解的整體凸性.本文主要談及常秩定理和凹性極值原理.

常秩定理在得到解的水平集的凸性的同時可得到嚴格凸性，是一個強極值原理.我們考慮偏微分方程的解u的一個半正定矩陣w=（wij）n×n，wij=wij（D2u，Du，u，x）滿足：（1）（wij）≥0;（2）可以選取適當的坐標系使得（wij）對角或部分對角;（3）wij∈C1，1（Ω）.假設l=minx∈Ωrank（w（x））在點x0∈Ω達到，選取恰當的輔助函數φ，然后證明其中Ω0是x0點在Ω內的一個小鄰域.利用強極值原理和連續性方法可以得到φ（x）≡0 in Ω，進而得到φ在Ω上保持常秩.

Gabriel提出的凹性極值原理屬于宏觀方法，使用此方法來描述凸性不需要對象是光滑的，是一種弱極值原理.函數u為上半連續函數，用u*表示u的擬凹包絡，擬凹包絡u*是其上水平集為u的閉凸包的上半連續函數.由于u*是比u大的最小的上半連續擬凹函數，從而有u*≥u.只要證明u*

三、研究現狀與展望

關于Laplace算子的線性和半線性方程，p-Laplace算子的擬線性方程和平均曲率方程，這些方程解的水平集的曲率估計研究已經有了很好的結論，而對完全非線性方程，如Monge-Ampère方程，只有近兩年一些學者對主曲率的研究.

筆者已經針對完全非線性的有界凸區域上帶有0邊值Dirichlet條件的Monge-Ampère方程解的水平集的凸性進行研究，接下來主要考慮在將有界凸區域上帶有0邊值Dirichlet條件的Monge-Ampère這類完全非線性的方程改為k-Hessian型方程，利用其整體思路對k-Hessian型方程σ2（D2u）=1進行解的水平集的凸性研究.

【參考文獻】

[1]Ma Xi-Nan，XuLu，The convexity of solution of a class Hessian equation in bounded convex domain in R3[J].J.Funct.Anal.，2008（7）：1713-1723.

[2]Liu Pan，Ma Xi-Nan，Xu Lu.A Brunn-Minkowski inequality for the Hessian eigenvalue in three-dimensiononal convex domain[J].Adv.Math.，2010（3）：1616-1633.

[3]Hong Jiaxing，Huang Genggeng，Wang Weiye.Existence of global smooth solutions to Dirichet problem for degenerate elliptic Monge-Ampère equations[J].Commun.Partial Differential Equations，2011（36）：635-656.

[4]麻希南.橢圓與拋物偏微分方程解的凸性[J].大學數學，2016（5）：1-17.

[5]蘇久亮.橢圓偏微分方程解的凸性研究綜述[J].浙江樹人大學學報，2009（2）：42-46.

[6]于雪梅.空間形式上蒙日-安培方程解水平集的曲率估計[J].哈爾濱：哈爾濱師范大學，2015.

[7]歐乾忠.橢圓偏微分方程解的水平集的凸性[J].上海：華東師范大學，2008.

[8]張偉.一類橢圓偏微分方程解的水平集的高斯曲率估計[J].合肥：中國科學技術大學，2011.

[9]侍述軍.一類橢圓偏微分方程解的凸性估計及其應用[J].合肥：中國科學技術大學，2012.

[10]陳傳強.微觀凸性原理及其幾何應用[J].合肥：中國科學技術大學，2012.