用待定系數(shù)法求解概率遞推關(guān)系

衛(wèi)久鈺

【摘要】用全概率公式求解概率問題常常得到概率遞推關(guān)系Pn+1=aPn+b（a≠1，b≠0，1）.本文用待定系數(shù)法得出了該概率遞推關(guān)系的公式，使用該公式能使該類問題的運算得到簡化.

【關(guān)鍵詞】概率;概率遞推關(guān)系;待定系數(shù)法

若概率{Pn}滿足：Pn+1=aPn+b（a≠1，b≠0，1），設(shè)Pn+1+λ=a（Pn+λ），則Pn+1=aPn+（a-1）λ，∴b=（a-1）λ即λ=ba-1，∴Pn+1+ba-1=aPn+ba-1，

所以Pn+1+ba-1為等比數(shù)列，首項為P1+ba-1，公比為a.

∴Pn+ba-1=P1+ba-1·an-1，即{Pn}的通項公式為Pn=P1+ba-1·an-1-ba-1.

下面舉例說明該公式的應(yīng)用.

例1 m個人相互傳球，球從甲開始傳擊，每次傳球時，傳球者等可能地把球傳給其余m-1個人中的任何一個，求第n次傳球時仍由甲傳擊的概率.

解 設(shè)事件Ai=“第i次傳球時由甲傳擊”，

記Pi=P（Ai），i=1，2，….

則有P1=1，P（Ai+1|Ai）=0，P（Ai+1|Ai）=1m-1.

由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（Ai+1）·P（An|An-1）=Pn-1×0+（1-Pn-1）·1m-1，

得遞推關(guān)系

Pn=11-mPn-1+1m-1，n≥2，

由上述公式可得

Pn=1m1-11-mn-2，n=2，3，….

例2 甲、乙擲擊，兩人輪流擲一顆骰子，甲先擲，每當(dāng)某人擲擊1點時，則交給對方擲，否則此人繼續(xù)擲.試求第n次由甲擲的概率.

解 設(shè)事件Ai=“第i次傳球時由甲擲骰子”，

記Pi=P（Ai），i=1，2，….

則有P1=1，P（Ai+1|Ai）=56，P（Ai+1|Ai）=16，

所以由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（An-1）·P（An|An-1），

得遞推關(guān)系

Pn=56Pn-1+16（1-Pn-1）=23Pn-1+16，n≥2，

由上述公式可得Pn=121+23n-1，n=2，3，….

例3 甲口袋有1個黑球、2個白球、乙口袋有3個白球，每次從兩口袋中各任取一球，交換后放入另一口袋.求交換幾次后，黑球扔在甲口袋中的概率.

解 設(shè)事件Ai=“第i次交換后黑球仍在甲口袋中”，

記Pi=P（Ai），i=0，1，2，….

則有P0=1，P（Ai+1|Ai）=23，P（Ai+1|Ai）=13，

由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（Ai+1）·P（An|An-1）=Pn-1×23+（1-Pn-1）·13，

得遞推關(guān)系Pn=13Pn-1+13，n≥1，

由上述公式可得Pn=121+13n，n=1，2，….

例4 假設(shè)只考慮天氣的兩種情況：有雨或無雨，若已知今天的天氣情況，明天天氣保持不變的概率為P，變得概率為1-P.設(shè)第一天無雨，試求第幾天也無雨的概率.

解 設(shè)事件Ai=“第i天也無雨”，

記Pi=P（Ai），i=1，2，….

則有P1=1，P（Ai+1|Ai）=P，P（Ai+1|Ai）=1-P，

由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（Ai+1）·P（An|An-1）=Pn-1·P+（1-Pn-1）·（1-P），

得遞推關(guān)系Pn=（2P-1）Pn-1+1-P，n≥2，

由上述公式可得

Pn=12[1+（2P-1）n-1]，n=2，3，….

通過上述例題我們可以看出待定系數(shù)法為解決概率遞推問題提供了極大便利.

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