Cauchy中值問題解的穩定性

李厚梅　向淑文

【摘要】本文主要研究Cauchy中值問題解的穩定性，其研究具有重要的理論意義，借助有限理性模型研究非線性問題解的穩定性方法，首先給出Cauchy中值問題的具體有限理性模型，其次通過驗證其假設條件和利用已有的結論，最后得到絕大多數的Cauchy中值問題的解是結構穩定和魯棒的.

【關鍵詞】Cauchy中值問題;有限理性;穩定性;魯棒性

【基金項目】貴州省科學技術基金（黔科合J字[2014]2058號）.

一、引 言

Cauchy中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學的基本定理之一，它是研究函數性質的有力工具，也是洛必達法則的理論基礎.它有著廣泛的應用，例如，解決了微積分學中與中值定理有關的證明問題，通過研究已有柯西中值定理的高階微分形式，結合差分的相關知識，解決一類復雜不等式的證明，利用中值定理求極限，類似地，推廣的Cauchy中值定理可以應用函數構建法來解決一些方程根的存在性及一些不等式問題等.

Cauchy中值問題表述如下：

（P）求x*∈（a，b），使得f′（x*）g′（x*）=f（b）-f（a）g（b）-g（a），

其中函數f（x）和g（x）均在閉區間[a，b]上連續且在（a，b）上可導，對任意x∈（a，b），g′（x）≠0.稱x*為Cauchy中值問題（P）的解.

大量文獻對Cauchy中值定理進行了多層面的研究，得到了一些有用的結果[1-2].陳新一[1]研究并得到了關于Cauchy中值定理的逆問題;杜爭光[2]推廣了Cauchy中值定理且得到了該定理的一個廣義積分形式，還對該定理的中間點x*的漸近性進行了討論;何基好[3]對微分學中的拉格朗日中值問題解開展了關于穩定性方面的研究.

2001年，Anderlini和Canning[4]建立了抽象模型M，這是一類帶有抽象理性函數的參數化的“一般博弈”模型，隨后，俞建等人[5]重新研究了此模型，不但擴大了模型的應用范圍，而且還得到了一些新的較為深刻的結果[6-9].具體地，文獻[5]將假設條件進一步弱化：Λ是緊度量空間將其減弱為完備度量空間，理性函數R由原來的在（λ，x）上連續減弱為下半連續，集值映射f由連續減弱為上半連續.同時，文獻[5]給出了模型M在λ∈Λ對ε-平衡魯棒和M在 λ∈Λ是結構穩定的新定義并且證明了對絕大多數的λ∈Λ（Baire分類的意義上），M是結構穩定的，對ε-平衡也都是魯棒的.

受上述研究的啟發，本文主要在有限理性框架下研究柯西中值問題解的穩定性.結構如下：第二部分是本文需要的一些預備知識，且給出有限理性下的穩定性結論;第三部分先定義了度量，后構造了理性函數，結合有限理性的框架知識給出柯西中值問題解的穩定性結果;第四部分是本文的結論.

二、預備知識

在本文中，設（X，d）為度量空間，記K（X）為X的所有非空緊子集的全體，其上的拓撲由X上的d誘導的Hausdorff度量生成.首先，回顧AC-有限理性模型M.具體地，M={Λ，X，F，R}，其中Λ為參數空間或問題空間，每個λ∈Λ表示一個博弈問題;X是策略或行為空間，每個x∈X表示一個策略;F：Λ×X→2X是可行集值映射，F誘導出一行為映射f：Λ→2X，其中λ∈Λ，f（λ）={x∈X：x∈F（λ，x）}，該行為映射f的圖像為Graph（f）={（λ，x）∈Λ×X：x∈f（λ）}，R：Graph（f）→R+為理性函數，特別地，R（λ，x）=0對應于完全理性.λ∈Λ，ε≥0，E（λ，ε）={x∈f（λ）：R（λ，x）≤ε}定義為問題λ的ε-平衡點集，E（λ）=E（λ，0）={x∈f（λ）：R（λ，x）=0}則為λ的平衡點集.

文獻[10]主要假定（Λ，ρ）是完備度量空間，（X，d）是緊度量空間，f：Λ→K（X）是上半連續的，且λ∈Λ，f（λ）∈K（X）R;Graph（f）→R+是下半連續的，而λ∈Λ，E（λ）≠.這樣，λ∈Λ，ε≥0，E（λ，ε）={x∈f（λ）：R（λ，X）≤ε}必是X中的閉集，從而是緊集.

下面是關于AC-有限理性模型M對ε-平衡的魯棒性和結構穩定性的定義.

定義1[4] 如果δ>0，存在ε>0，使λ∈Λ，當ε<ε時，有

h（E（λ，ε），E（λ））<δ，

稱M對ε-平衡點集是魯棒的，其中h是X上的Hausdorff距離.

定義2[4] 如果平衡映射E：Λ→K（X）是連續的，稱M是結構穩定的.

現將文獻[11]中的主要結果用定理A的形式給出.

定理A 設（Λ，ρ）是完備度量空間，（X，d）是緊度量空間，f在Λ上是usco的，即

f：Λ→K（X）是上半連續的，λ∈Λ，f（λ）是非空緊集，

R：Graph（f）→R+是下半連續的且λ∈Λ，E（λ）≠，則

（1）平衡映射E在Λ是usco的;

（2）存在Λ中的一個稠密剩余集Q，使得λ∈Q，M在λ是結構穩定的;

（3）如果M在λ∈Λ是結構穩定的，則M在λ∈Λ對ε-平衡必是魯棒的，從而λ∈Q，M在λ對ε-平衡必是魯棒的;

（4）λ∈Q，λn→λ，εn→0，有h（E（λn，εn），E（λ））→0;

（5）如果λ∈Λ，而E（λ）是單點集，則M在λ∈Λ是結構穩定的，在λ∈Λ對ε-平衡必是魯棒的.

三、主要結果

構造Cauchy中值問題空間如下：

設X=[a，b]R=（-∞，+∞）是非空有界閉區間，Λ1={λ=（h，g，[c，d]）}h′g′：X→R在X上連續，h（x），g（x）是X上的連續函數，x∈（a，b），g′（x）≠0，maxx∈X|h（x）|<+∞，maxx∈X|g（x）|<+∞，[c，d]是X中的非空有界閉子區間，存在x∈（c，d），使得h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c）.λ1=（h1，g1，[c1，d1]），λ2=（h2，g2，[c2，d2]）∈Λ1，定義

ρ1（λ1，λ2）=maxx∈X‖h1（x）-h2（x）‖+maxx∈X‖g1（x）-g2（x）‖+maxx∈Xh1′（x）g1′（x）-h2′（x）g2′（x）+h（[c1，d1]，[c2，d2]），其中h是X上的Hausdorff距離，很顯然，ρ1是Λ1上的一個度量，則容易證明（Λ1，ρ1）是度量空間.

引理3.1 （Λ1，ρ1）是完備度量空間.

證 設{λn=（gn，hn，[cn，dn]）}是Λ1中的任意一個Cauchy序列，即ε>0，存在正整數N（ε），使n，m≥N（ε）時，有

ρ1（λn，λm）=maxx∈X‖hn（x）-hm（x）‖+maxx∈X‖gn（x）-gm（x）‖+maxx∈Xhn′（x）gn′（x）-hm′（x）gm′（x）+h（[cn，dn]，[cm，dm]）<ε，易知，x∈X，存在h′g′：X→R，且h′g′連續，使得 limm→∞hm′（x）gm′（x）=h′（x）g′（x），存在h（x），使 limm→∞hm（x）=h（x），存在g（x），使 limm→∞gm（x）=g（x），函數h（x），g（x）連續，x∈X， maxx∈X|h（x）|<+∞，maxx∈x|g（x）|<+∞，存在[c，d]X，使[cm，dm]→[c，d]（m→∞），[c，d]是X中非空有界子區間，且n≥N（ε），有

maxx∈X‖hn（x）-h（x）‖+maxx∈X‖gn（x）-g（x）‖+

maxx∈Xhn′（x）gn′（x）-h′（x）g′（x）+h（[cn，dn]，[c，d）]）≤ε.

因為λn=（hn，gn，[cn，dn]）∈Λ1，存在xn∈[cn，dn]，使[c，d]X，有

hn′（xn）gn′（xn）=hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）.

因為[c，d]X是非空有界閉子區間，由文獻[12]知，[c，d]是緊集，不妨假設xn→x∈[c，d]，

因為hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）≤

hn′（xn）gn′（xn）-h′（xn）g′（xn）+h′（xn）g′（xn）-h′（x）g′（x）.

而h′g′：X→R是連續的，得hn′（xn）gn′（xn）→h′（x）g′（x）.

易證hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）→h（d）-h（c）g（d）-g（c）（n→∞），

從而h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c）.

因此，λ=（h，g，[c，d]）∈Λ1，（Λ1，ρ1）必是完備的.

λ=（h，g[c，d]）∈Λ1，它就給定了一個Cauchy中值問題，所有Cauchy中值問題的解的集合為E（λ），由Λ1的定義，E（λ）≠.

現在考慮模型M1={Λ1，X，F，R}，λ=（h，g[c，d]）∈Λ1，x∈X，定義：

f（λ）=F（λ，x）=[c，d]，

R（λ，x）=h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c），

E（λ）=x∈[c，d]：h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c）.

引理3.2 （1）f：Λ1→2X是連續的，且對任意的λ∈Λ1，f（λ）是緊的;

（2）λ∈Λ1，x∈f（λ），R（λ，x）≥0;

（3）λ∈Λ1，E（λ）≠，x∈E（λ）當且僅當R（λ，x）=0.

證 （1）顯然成立.

（2）x∈f（λ），

R（λ，x）=h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）≥0.

（3）事實上，若R（λ，x）=0，

也即h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）=0，

從而有h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）=0，

即h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c），所以x∈E（λ）.

反過來，若x∈E（λ），則有h′（x）g′（x）=h（d）-h（c）g（d）-g（c），就有h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）=0，即R（λ，x）=0.

引理3.3 R（λ，x）在（λ，x）是連續的.

證 {xn}[cn，dn]，{λn=（hn，gn，[cn，dn]）}Λ1，n=1，2，…，設λn=（hn，gn，[cn.dn]）→λ=（h，g，[c，d]）∈Λ1和xn→x∈[c，d]（n→∞），cn≠dn，c≠d，則需要證當n→∞時，有

R（λn，xn）→R（λ，x）.

|R（λn，xn）-R（λ，x）|

=hn′（xn）gn′（xn）-hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）-

h′（x）g′（x）-h（d）-h（c）g（d）-g（c）

≤hn′（xn）gn′（xn）-hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）-h′（x）g′（x）+h（d）-h（c）g（d）-g（c）

≤hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）+

h（d）-h（c）g（d）-g（c）-

hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）.

其中hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）≤hn′（xn）gn′（xn）-h′（xn）g′（xn）+h′（xn）g′（xn）-h′（x）g′（x）≤ρ（λn，λ）+h′（xn）g′（xn）-h′（x）g′（x）.

由于ρ（λn，λ）→0，xn→x且h′g′在X上連續，n→∞，

所以有h′（xn）g′（xn）→h′（x）g′（x），

從而hn′（xn）gn′（xn）-h′（x）g′（x）→0.（1）

由h（[cn，dn]，[c，d]）→0，得cn→c，dn→d（n→∞）.令dn=d+en，cn=c+kn，則en→0，kn→0（n→∞），因此，

[h（d）-h（c）]-[hn（dn）-hn（cn）]

=[h（d）-h（c）]-[hn（d+en）-hn（c+kn）]

=hn（c+kn）-hn（c）-[hn（d+en）-hn（d）]+

hn（c）-hn（d）+h（d）-h（c）

=hn（c+kn）-hn（c）c+kn-c·kn-hn（d+en）-hn（d）d+en-d·en-

[hn（d）-hn（c）]+h（d）-h（c）

=hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en+hn（c）-h（c）+h（d）-hn（d）.

從而

‖h（d）-h（c）-[hn（dn）-hn（cn）]‖

=‖hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en+[hn（c）-h（c）]+

[h（d）-hn（d）]‖

≤‖hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en‖+maxx∈X‖hn（x）-

h（x）‖+maxx∈X‖hn（x）-h（x）‖

≤‖hn′（ξ1）·kn-hn′（ξ2）·en‖+2ρ（λn，λ）

→0（n→∞），

故 limn→∞[hn（dn）-hn（cn）]=h（d）-h（c）.

同理 limn→∞[gn（dn）-gn（cn）]=g（d）-g（c），

由前可知g（d）≠g（c），

從而1gn（dn）-gn（cn）→1g（d）-g（c）（n→∞）.

所以h（d）-h（c）g（d）-g（c）-hn（dn）-hn（cn）gn（dn）-gn（cn）→0（n→∞）.（2）

結合（1）（2），有 limn→∞R（λn，xn）=R（λ，x），因此，R（λ，x）在（λ，x）是連續的.

由上述引理3.1—3.3可知，定理A的假設條件全部滿足要求，從而有以下定理.

定理3.1關于Cauchy中值問題（P）解的穩定性，有定理A成立.

（1）平衡映射E在Λ1是usco的;

（2）存在Λ1中的一個稠密剩余集Q，使得λ∈Q，M1在λ是結構穩定的;

（3）如果M1在λ∈Λ1是結構穩定的，則M1在λ∈Λ對ε-平衡必是魯棒的，從而λ∈Q，M1在λ對ε-平衡必是魯棒的;

（4）λ∈Q，λn→λ，εn→0，有h（E（λn，εn），E（λ））→0;

（5）如果λ∈Λ1，而E（λ）是單點集，則M1在λ∈Λ1是結構穩定的，在λ∈Λ1對ε-平衡必是魯棒的.

證 由引理3.1-3.3，（Λ1，ρ1）是完備度量空間，X是緊度量空間，集值映射f在Λ1是上半連續的且f（λ）非空，R連續且λ∈Λ1，E（λ）≠.則定理A成立.

四、結 論

本文在基于有限理性框架下討論了Cauchy中值問題模型.在Baire分類的意義下，對絕大多數的參數值λ∈Λ1，M1在λ是結構穩定的，對ε-平衡也是魯棒的.即在有限理性下絕大多數的柯西中值問題的解都是穩定的.

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