關于M-D及相關不等式

姚秀鳳

【摘要】本文利用控制不等式理論給出了Mitrinovic'-Djokovic'不等式的一個控制證明和相關不等式，建立了若干新的不等式.

【關鍵詞】M-D不等式;Schur凸性;受控

本文中，Rn和Rn++分別表示n維實數集和n維正實數集，并記R1=R，R1++=R++.

An（x）=∑ni=1xin為n元算術平均.

1948年，G.H.Hardy證明了一個二元不等式[1]：

對x1>0，x2>0且x1+x2=1有不等式

x1+1x12+x2+1x22≥252（1）

成立.

1970年，塞爾維亞數學家D.S.Mitrinovic'等利用分析的方法將式（1）推廣為[2]：

定理1 如果xk>0（k=1，2，…，n），∑nk=1xk=1，對任意α>0有

∑nk=1xk+1xkα≥（n2+1）αnα-1（2）

成立.

式（2）稱為M-D不等式[6]，文獻[6]對其研究進展有著詳細的介紹與分析.

本文另辟蹊徑，利用控制不等式理論給出式（2）一個控制證明，并且對xk>0（k=1，2，…，n），∑nk=1xk=1時，給出關于∑nk=1xk+1xkα的相關式∑nk=11xk-xkα一個相關不等式，得到了一些有趣的結果.

為了證明研究結果需要下面的定義與引理.

定義1[3，5] 設x=（x1，…，xn），y=（y1，…，yn）∈Rn.

ⅰ.若∑ki=1x[i]≤∑ki=1y[i]，k=1，2，…，n-1，且∑ni=1xi=∑ni=1yi，則稱x被y所控制，記作x

ⅱ.設ΩRn，φ：Ω→Rn，若在Ω上x

定義2[3，5] 設ΩRn.

ⅰ.若x∈ΩPx∈Ω，n×n置換矩陣P，則稱Ω為對稱集.

ⅱ.設Ω為對稱集，φ：Ω→R.若對任何x∈Ω和任意n×n置換矩陣P，都有φ（Px）=φ（x），則稱φ為Ω上的對稱函數.

引理1[4] 設ΩRn是有內點的對稱凸集，φ：Ω→R在Ω上連續，在Ω的內部Ω0可微，則φ在Ω上Schur凸（凹）φ在Ω上對稱且x∈Ω0，有

（x1-x2）φx1-φx2≥0（≤0）.（3）

引理2[4] 設x=（x1，x2，…xn）∈Rn，有下列控制不等式成立：

（x1，…，xn）>（An（x），…，An（x）），（4）

其中An（x）=∑ni=1xin.

定理2 對f（x1，x2，…，xn）=∑nk=11xk-xkα，當00時，

f（x1，x2，…，xn）關于x1，x2，…，xn Schur凸.

證明 分兩種情況證明：

ⅰ.當0

令f（x1，…，xn）=∑nk=11xk-xkα，顯然，f（x1，x2，…，xn）關于x1，x2，…，xn對稱.

fx1=-α1x1-x1α-11x21+1，

fx2=-α1x2-x2α-11x22+1，

不妨設0

fx1-fx2=α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-1·1x21+1.

令g（x）=1x-xα-11x2+1，于是

g′（x）=-（α-1）1x-xα-21x2+12+1x-xα-1·-2x3

=1x-xα-2（1-α）1x2+12+1x-x-2x3

=1x-xα-2（1-α）+1x2-1-αx2+2（2-α）

≤1x-xα-2（1-α）+1x2-1-αx2+2≤0

g（x）單調減.因此，有fx1-fx2≥0Δ1：=（x1-x2）fx1-fx2≥0.

ⅱ.當0

令g1（x）=1x-xα-1，則

g1′（x）=1x-xα-1′

=（α-1）1x-xα-2（-x-2-1）≥0，

所以當0<α<1時g1（x）在（0，1]上是非負單調增函數.

而fx1-fx2

=α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-11x21+1

=αgα-11（x2）1x22+1-gα-11（x1）1x21+1≥0

Δ1：=（x1-x2）fx1-fx2≥0.

綜合ⅰ、ⅱ，由引理1知f（x1，…，xn）關于x1，x2，…，xn Schur凸.

定理3 對α>0，xk>0（k=1，2，…，n），∑nk=1xk=1，有不等式

∑nk=11xk-xkα≥（n2-1）αnα-1（5）

成立.

證明 由引理2控制不等式：（x1，…，xn）>（An（x），…，An（x））及定理1、定義1有

f（x1，…，xn）≥f（A1（x），…，An（x）），

即∑nk=11xk-xkα≥n1An（x）-An（x）α.

于是，當∑nk=1xk=1時，有

∑nk=11xk-xkα≥（n2-1）αnα-1

成立.

推論1 對x1>0，x2>0且x1+x2=1有不等式：

1x1-x12+1x2-x22≥92（6）

成立.

證明 定理2中令α=2，n=2，即有1x1-x12+1x2-x22≥92.

推論2 對x1>0，x2>0且x1+x2=1有不等式：

1x1-x1+1x2-x2≥6（7）

成立.

證明 定理2中令α=12，n=2時就有

1x1-x1+1x2-x2≥312=6.

推論3 當0<β<π2，有

cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6（8）

成立.

證明 推論2中令x1=sinβ，x2=cosβ，于是

1x1-x1+1x2-x2=1sin2β-sin2β+1cos2β-cos2β

=cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6.

最后我們給出定理1的控制證明，可以看出下面的證明比較D.S.Mitrinovic'的證明要簡明.

證明 令h（x1，x2，…，xn）=∑nk=11xk+xkα，顯然，h（x1，x2，…，xn）關于x1，x2，…，xn對稱.

hx1=α1x1+x1α-1-1x21+1，

hx2=α1x2+x2α-1-1x22+1，

不妨設0

hx1-hx2

=α1x1+x1α-11-1x21-1x2+x2α-11-1x22

=α1x2+x2α-11x22-1-1x1+x1α-11x21-1.（9）

類似定理2的證明，我們分兩種情況.

ⅰ.當0

令g1（x）=1x+xα-1，則

g1′（x）=1x+xα-1′

=（α-1）1x+xα-2（-x-2+1）≤0，

所以，g1（x）在（0，1]上是非負單調減函數.

ⅱ.當0

令g（x）=1x+xα-11-1x2，則

g′（x）=（α-1）1x+xα-21-1x22+1x+xα-12x3

=1x+xα-2（α-1）1-1x22+1x+x2x3

≥0.

因此，g（x）在（0，1]上是單調增函數.

綜合ⅰ、ⅱ，結合式（9）有：當00時Δ2：=（x1-x2）hx1-hx2≥0，又由引理1知h（x1，…，xn）關于x1，x2，…，xn Schur凸.

再由控制不等式（x1，…，xn）>（An（x），…，An（x））及定理1、定義1有

h（x1，…，xn）≥h（A1（x），…，An（x）），

即∑nk=11xk+xkα≥n1An（x）+An（x）α.

于是，當∑nk=1xk=1時，有

∑nk=11xk+xkα≥（n2+1）αnα-1

成立.

【參考文獻】

[1]G H Hardy.A Course of Pure Mathematics[M].Cambridge：Cambridge University Press，1948：34.

[2]D S Mitrinovic'.Analytic Inequalities[M].New York：Springer，1970：282.

[3]王伯英.控制不等式基礎[M].北京：北京師范大學出版社，1990.

[4]石煥南.受控理論與解析不等式[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012.

[5]A M Marshall，I Olkin.Inequalities：theory of majorization and its application[M].New York：Academies Press，1979.

[6]匡繼昌.常用不等式[M].濟南：山東科學技術出版社，2010.