一種基于均勻稀疏采樣的Lamb波場重構方法

(江蘇大學 國家級高端裝備關鍵結構健康管理國際聯合研究中心，鎮江 212013)

Lamb波傳播距離遠，能量衰減小，檢測范圍大，且對結構內部缺陷敏感，在板狀結構的無損檢測與評估中有著廣泛應用[1-2]。傳統的Lamb波檢測方法常利用分布式傳感器陣列拾取波場信號以定位損傷，但此類方法具有以下缺點：① 傳感器需通過耦合劑與試件黏接，采樣信號易受耦合劑影響；② 陣列排布形式固定，操作不靈活；③ 空間分辨率受限，難以針對損傷的尺度、形狀等特征作精確評估[3]。使用非接觸式掃描激光多普勒測振儀(Scanning Laser Doppler Vibrometer,SLDV)能夠獲得板狀結構被測區域內高空間分辨率Lamb波場數據，并利用波場分析技術對損傷進行精確評估[4-6]。“波場”主要指行波在被測結構的研究區域中傳播,與結構特征相互作用產生的一系列隨時間演化的圖像。在采集波場數據的過程中，受限于Nyquist采樣定律，空間采樣間隔必須小于最小半波長，因此測點數量龐大；且對單個測點需多次測量取均值以提高信噪比。密集掃描形成海量數據不僅耗時，且給數據的存儲、傳輸及分析帶來巨大挑戰。

近年來有學者利用壓縮感知(Compressive Sensing,CS)技術框架，通過隨機采樣策略在采樣率遠低于Nyquist采樣率的條件下采集波場的空間離散樣本點信號，然后采用非線性重建算法恢復波場[7-8]。如:LEVINE等采用稀疏分布式傳感器陣列拾取波場信號，通過壓縮感知方法實現了金屬板中多個缺陷的定位，然而該方法需在試件表面布置大量壓電傳感器，且無法獲得高分辨率波場,從而難以提取更多關于損傷的量化信息；ESFANDABADI等[8]在IANNI等[9]的研究基礎上利用不同稀疏基精確重構波場，并根據其差異實現了對缺陷的檢測；基于稀疏重構算法和SLDV采樣，MESNIL等[10]對含損鋁板和復合材料板進行損傷成像和波場重構，并與試驗測量所得的高空間分辨率波場進行了對比。ESFANDABADI與MESNIL提出的損傷檢測方法均可通過少量空間測點信號精準重構出波場，并能實現損傷的高精度定位和成像，但兩者均依賴隨機采樣策略，需在現有的商用SLDV系統上增加額外的控制組件，進而增加了系統的復雜度和成本。

筆者使用一種新的采樣策略，用等間距的均勻稀疏采樣網格替代隨機的空間測點坐標，同時隨機選定假定源的位置，重新構建波場稀疏重構框架，利用SLDV測得的含損鋁板試驗數據對提出的方法進行了驗證。構建的基于SLDV均勻稀疏采樣的波場重構方案可高效獲取研究區域內的Lamb波場數據，對于提高基于波場分析的損傷檢測技術的效率具有重要意義。

1 Lamb波場稀疏重構框架

1.1 壓縮感知理論簡介

經典的Nyquist-Shanon采樣定理認為，為了不失真地恢復模擬信號，采樣頻率要高于模擬信號頻譜的最高頻率的兩倍，但該定理僅利用了信號帶寬有限的假設，并未利用到其他關于信號的先驗知識。DONOHO[11]等提出了一種全新的信號欠采樣和恢復理論，即壓縮感知理論。該理論充分利用了原始信號在某組預先設定的基礎上可以稀疏表達的先驗信息，通過隨機投影在遠低于Nyquist頻率的采樣頻率下對信號進行壓縮采集，然后將得到的少量測量值輸入到一個優化求解器中恢復出原始信號。

壓縮感知問題在數學上可描述如下：設一維信號x∈RN×1的稀疏度為K，即x中僅含K個非零值；觀測矩陣Φ∈CM×N，且M

使用SLDV在試件表面拾取Lamb波場時，通常需要設置大量的采樣點，其中屬于結構特征(如激勵源、損傷、預留孔洞和邊界等)的點非常有限，因此可結合導波的傳播機理與結構特征的稀疏性構建波場壓縮感知方程，通過求解方程來估計結構特征的位置，并重構出完整Lamb波場。

1.2 Lamb波場壓縮感知方程的構建

將待測結構表面檢測區域等間距地劃分為N個像素點，則在這些像素點中，位于結構特征附近的像素點個數通常是有限的。將這N個像素點視作“假定源”，而將位于結構特征附近的像素點視作真實的“源”，即能夠主動激勵或散射導波的結構特征所覆蓋的點，顯然真實源的存在具有相當高的稀疏性，因此可依據源的稀疏性構造壓縮感知方程，并通過求解方程找到真實源的位置。

設假定源編號為s(s=1,2,…,N)，測量點編號為m(m=1,2,…,M)，且M

(1)

通過理論計算進行估計，由于在各向同性板中，能量主要以幾何形式擴散，所以僅考慮幾何衰減，忽略材料耗散等因素。當考慮所有測點信號時，式(1)可改寫為

y(μ)(f)=Α(μ)(f)v(μ)(f)

(2)

(3)

(4)

(5)

理論上,在多模態情況下仍可用相同的方式構造壓縮感知方程，但為了計算方便，采用較低的激勵頻率，使得激勵源僅產生A0與S0模態，此時式(2)擴展為

y(f)=Α(A0)(f)v(A0)(f)+Α(S0)(f)v(S0)(f)=

Α(f)v(f)

(6)

即得到最終的壓縮感知方程(以下簡稱“CS方程”)，其中Α(f)為傳感矩陣。

為使傳遞矩陣滿足約束等距性質(RIP)，在采樣過程中必須兼顧均勻性和隨機性。有文獻通過抖動采樣[13]生成稀疏采樣點，并將假定源坐標設為等間距網格點，網格間距取最小波長的一半，如圖1(a)所示。商用SLDV測量系統內置的測量網格為均勻網格，為使SLDV稀疏采樣更易實現，筆者將隨機的測點坐標替換為等間隔均勻采樣網格坐標，同時用抖動采樣方法生成假定源坐標，如圖1(b)所示，這樣既便于使用SLDV系統對測點坐標進行設置，又可保證壓縮感知對傳遞矩陣的隨機性要求。

圖1 兩種采樣點與假定源點坐標設置示意

確定采樣點坐標后，利用SLDV采集信號，將測量信號的頻譜代入壓縮感知框架，通過基追蹤降噪算法求解下述問題

(7)

式中:ε(f)為與信號噪聲水平相關的常量。

1.3 波場重構與損傷成像

求得假定源激勵函數后，選定波場重構區域，構造假定源到該區域Nyquist采樣點之間的傳遞矩陣Α′，可得該區域Nyquist采樣點頻譜W(f)

W(f)=Α′(f)v(f)

(8)

然后對W(f)作逆傅里葉變換，得到任意時刻全波場數據W(t)。設定的波場重構區域與測量區域重合，此處需注意的是,波場的重構區域理論上可任意選擇，但在遠離檢測區域的位置處的信號的重構精度將有所降低。為了評估波場重構效果，采用重構波場與原始波場的相干系數來衡量波場的重構精度。

通過假定源激勵函數的幅值信息可直接進行損傷定位和成像。由于在激勵頻率與SLDV測量環境下，A0模態導波成分在測量信號中占主導地位，所以利用v(f)中A0模態部分的幅值信息進行損傷成像，成像指標index(x,y)的計算方法為

(9)

式中：index(x,y)為點(x,y)處的假定源成像指標;f1,f2分別為計算頻段的起止頻率。

2 試驗驗證

2.1 試驗設置

圖2 PZT激勵/SLDV傳感平臺外觀

構建如圖2所示的PZT激勵/SLDV傳感試驗平臺。待測試件為6061型號鋁板，尺寸(長×寬×高)為1 000 mm×1 000 mm×1 mm。在鋁板表面建立二維笛卡爾坐標系(見圖3)，激勵源為直徑為7 mm的壓電片，其坐標為(40,40)，在(40,145)處黏貼另一直徑為7 mm的壓電片以模擬損傷。圖3中的藍色區域為假定源區域，寬80 mm,高180 mm；虛線框為稀疏測量區域，寬高均為80 mm，在測量區域內每個采樣點上采集10次數據取平均值，以提高信噪比。激勵信號選擇中心頻率為250 kHz的五峰波，圖4為激勵信號的時域、頻譜圖。從圖4(b)可看出，激勵信號的能量主要集中在100 kHz400 kHz內，因此選擇該區間作為計算頻帶。通過試件的頻散曲線數據,可推算得到計算頻段內波場最小波長約為4.68 mm，因此假定源區域的Nyquist采樣點數為2 695。在假定源區域選取N個點作為假定源，并在測量區域均勻稀疏采樣M個點的信號值，定義采樣壓縮率SC=(1-M/N)×100%，在實際測量中，取N=2 695，M=221，采樣壓縮率SC=91.8%。在試驗中稀疏測量時間為63 s，比在假定源區域全測量減少768 s。

圖3 待測鋁板坐標系示意

圖4 激勵信號的時域圖與頻譜圖

2.2 波場重構結果

所使用的原始試驗信號為減去無損參考信號后的殘余信號，圖5(a)為利用SLDV密集采樣得到的殘余波場在62.3 μs時刻的截圖，從該圖可觀察到，激勵源產生的波場仍有殘余部分，在損傷后方殘余激勵源波場強度非常高。理論上可通過假定源的激勵函數重構出任意區域的波場，將波場重構區域與假定源區域一致。圖5(b)為從重構波場中截取得到的損傷周圍區域波場(即重構出的波場在62.3 μs時刻的截圖)。從波場重構的直觀結果可以看出，重構波場與測量波場具有較高的一致性。圖6為在點(20,140)處的測量信號與重構信號對比圖，可見重構信號與測量信號相位匹配較好。

圖5 62.3 μs時刻的測量波場與重構波場

圖6 點(20,140)處的重構信號與測量信號

2.3 損傷成像與重構效果評價

計算得到的損傷成像結果如圖7(a)所示，其中圖7(a)為歸一化成像指標的二維平面分布，圖7(b)為其三維分布。由圖7(b)得到的損傷中心位置為(38.8,146.7)，與損傷中心真實位置相差2.1 mm，在誤差波場最小半波長的一半以內，說明該方法定位較為準確。圖8為重構波場與測量波場在各頻率段的相干系數曲線，從圖中可以看出，在計算頻段內大部分頻率對應的重構系數在0.95以上，重構系數最高值可達0.99，說明所提出的方法可較為精確地重構出原始波場。

圖7 損傷成像結果

圖8 重構波場與測量波場在各頻率段的相干系數曲線

通過稀疏重構的方法獲取波場可顯著減少測量時間，但重構計算量較大，其耗時也是影響檢測效率的重要因素之一。求解CS方程在總體計算過程中占主導地位，其求解時間與方程規模相關。CS方程的規模主要與測點數量M、假定源數量N及常數ε(f)等有關，通過研究不難發現，CS方程計算耗時與以上3個因素均為線性關系。在研究區域確定后，依據Nyquist定律即可確定假定源數量N的最小值；根據試驗研究可知，在M達到測量區域內Nyquist采樣點數的90%左右時，即可獲取高精度的重構波場；而常數ε(f)可根據試驗結果進行選取。雖然重構過程增加了后續的計算量，但計算過程一般在數秒內即可完成，而測量完整波場信號比稀疏采樣需多消耗數十分鐘到幾個小時的時間，因此通過稀疏采樣無疑可以極大地提高檢測效率。

3 結語

通過試驗數據驗證了利用均勻稀疏采樣方案重構Lamb波場的可行性和重構效果，并利用假定源激勵函數的幅值信息對損傷進行定位和成像。結果表明，所提出的方法可極大地提高研究區域Lamb波場的獲取效率，同時重構出的波場在計算頻段內與原波場具有較高的一致性，損傷定位的誤差可控制在波場最小波長的一半以內。