基于前景理論和證據推理的區間灰數多屬性決策①

熊寧欣,王應明

(福州大學 經濟與管理學院,福州 350108)

由于客觀現實的復雜性和信息的模糊性,決策問題研究面臨著大量的不確定性.在不確定性多屬性決策領域,通過模糊數學[1]、概率統計等經典方法處理不確定性問題的研究已趨于成熟,而灰色系統理論[2,3]自80年代由中國學者鄧聚龍教授創立以來,產生了廣泛的國際影響,得到了眾多學者廣泛的關注和深入的研究.灰數是灰色系統理論的基本單元,針對模糊數學與統計概率難以描述的不確定信息,主要通過對部分已知信息進行生成和開發以提取和分析有價值的信息,實現對不確定系統的準確描述.

針對屬性值為區間灰數的不確定多熟悉決策問題,謝乃明和劉思峰[4]深入研究了灰數的排序問題,針對連續型灰數與區間型灰數分別給出排序規則.王堅強等[5]針對概率和信息值均為區間灰數的灰色風險型多屬性決策問題,提出一種基于前景理論的決策方法,采用離差最大化思想對方案進行排序.閆書麗等人[6]研究了信息值為區間灰數,指標權重未知的動態風險決策問題,提出一種基于累積前景理論和灰靶思想的決策方法.王俊杰和黨耀國[7]構建了兩個區間灰數間比較的可能度函數,通過在灰數區間上積分,求得兩區間灰數間排序的可能度大小.劉中俠和劉思峰等[8]利用基于區間灰數相離度的灰色關聯分析法解決屬性值為區間灰數的多屬性決策問題,計算綜合關聯相對貼近度,以給出備選方案的優劣排序.在目前已有的研究中,許多方法仍是參照區間數排序問題提出,或將區間灰數轉化為區間數或實數進行計算,這些方法忽視了區間灰數的本質特征,無法充分利用區間灰數的原始信息.

綜上,本文針對屬性值為區間灰數,考慮決策者主觀風險偏好的多屬性決策問題,提出了基于前景理論和證據推理的區間灰數決策方法.首先,定義保留區間灰數特性的距離測度公式,計算方案屬性值與正負理想解之間的偏差程度.其次,構建基于距離測度的前景價值函數,依據相對于參照點的收益和損失建立前景價值矩陣.最后,運用證據推理算法綜合前景值,通過實例驗證該方法的有效性.

1 預備知識

1.1 區間灰數

定義1[9].灰數 ?是指依賴于某一背景或命題P下的命題信息p(θ),在某一個覆蓋集合D內取值的不知其確切取值的實數,取值范圍內包含其唯一真值d*.灰數的定義為：

定義2[4].設D為灰數 ?的覆蓋集合,集合D可能是某個區間或一般的數集,根據數值覆蓋集合可將灰數分為離散型和連續型兩類.

1) 若D為一個離散集合,稱灰數?為離散型灰數,記為? ??d*∈D,D=[d1,d2,···,dn],θ ∈D,p(θ).

2)既有下界又有上界的灰數稱為連續型灰數,也稱為區間灰數.若D為一個連續集合(即區間集合),記???d*∈D,D=[a,b],θ ∈D,p(θ),a和b分別稱為區間灰數 ?的下界和上界.

相較于區間數,區間灰數內每一點的取值可能性不相等,依據決策者掌握的信息,區間內最可能為真值的點的取值可能性最大,當區間內每一點的取值可能性都相等,即對于任意 θi,θj∈D,有p(θi)=p(θj),區間灰數退化為傳統的區間數.

在實際灰色決策問題中,灰數最常見的表現形式為區間灰數,本文以討論區間灰數為主.

定義3[10].區間灰數 ?∈[a,b]的最大可能取值稱為白化值,用符號表示.

其中 α稱為灰數的定位系數.當α=0.5時得到的白化值稱為均值白化值.對于區間灰數,灰數的均值白化值稱為核 ??：

定義4.設區間灰數?∈[a,b],稱l(?)=b-a為區間灰數的信息域.

定義5.假設兩個區間灰數 ?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],兩個區間灰數之間的距離為：

定義6[6].假設兩個區間灰數?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],信息域分別記為l(?1)=b1-a1和l(?2)=b2-a2,和分別表示區間灰數的核,若

則?1??2,否則?1??2.

定義7.假設兩個區間灰數 ?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],區間灰數?1和?2的并表示為：

定義8.假設兩個區間灰數 ?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],區間灰數?1和?2的交表示為：

1.2 前景理論

前景理論由Kahneman和Tversky[11]在1979年提出,它以人的“有限理性”為前提,反映了決策者的主觀風險偏好.

定義9[12].Tversky和Kahneman 給出了價值函數的具體形式是：

上述公式中,α和β稱為風險態度系數,分別表示價值函數在收益和損失區域的凹凸程度,滿足條件0 ≤α,β ≤1.σ為損失規避(厭惡)系數,表示相對于收益,決策者對損失更加敏感,σ＞1.Δx表示結果相對于參照點的收益或損失,Δx≥0表示收益,Δ ≤0表示損失.

1.3 證據推理理論

證據推理方法建立在證據理論[13,14]和不確定決策理論的基礎上,自Yang[15]首次提出以來,經過20 多年的發展已稱為處理不確定信息的重要工具.證據推理算法具體如下所示：

Step 1.在證據推理框架中,方案ai(i=1,2,···,m)在屬性cj(j=1,2,···,n)下的屬性值表示證據,在使用證據推理算法前需要將證據轉換為統一的信度結構.定義一 組 評 價 集H={Hn|Hn?Hn+1,n=1,2,···,N},假 設βn,i表示方案在屬性cj下被評價為等級Hn的信任度,方案在屬性cj下的置信度分布評價表示為：

Step 2.計算基本概率分配及未分配概率.

定義10[16].令mn,i為基本概率分配函數,表示方案在屬性cj下屬于評價等級Hn的信任度,計算公式如下：

定義11[16].令mH,i為未分配概率指派函數,表示方案在屬性cj下未分配給任何評價等級Hn的信任度,計算公式如下：

未分配的概率指派函數mH,i從源頭上可分解為和兩個部分,其中表示由于權重而未分配的概率函數,表示由于無知而未分配的概率函數,它是因不完全評價引起的.具體計算公式如下：

Step 3.采用解析合成算法[17]對基本概率分配函數實現證據集成.具體算法如下所示：

βn表示方案被評價為等級Hn的 置信度,βH表示分配到確定評價等級的不確定性,綜合置信度為：

其中,評價等級Hn上的置信度范圍為βn,(βn+βH)].

2 決策模型

2.1 問題描述

考慮某屬性值為區間灰數的不確定多屬性決策問題由m個候選方案A={a1,a2,···,am},(i=1,2,···,m)及n個評價屬性C={c1,c2,···,cn},(j=1,2,···,n)組成.由于決策信息的不確定性,方案ai在 屬性cj下的屬性值表現為區間灰數形式xij(?)∈[,],構成原始區間灰數決策矩陣D=[xij(?)]m×n.

2.2 改進的區間灰數距離公式

如式(2)所示,傳統的區間灰數距離公式只考慮了灰區間的上下界測度,與區間數距離計算方法較為類似,忽略了區間數與區間灰數之間的本質區別,得到的結果并不理想.設3 個區間灰數為?1=[-3,2],?2=[0,1],?3=[1,4],根據式(2)可得：

從上述結果可知,d(?1,?2)=d(?3,?2).實際上,?2的 取值區間在 ?1內 且在 ?3外,應該與 ?1的距離更為接近,理應由d(?1,?2)＜d(?3,?2),因此該結果與實際不符.

文獻[6]認為,區間灰數的真實值可能取在核的左右半個區間內的任一點,因此距離公式應考慮核之間的距離和兩個灰數半區間長度的不確定影響.基于此定義了如下區間灰數距離公式.

定義12[6].假設兩個區間灰數?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],區間灰數距離公式為：

該公式考慮了區間灰數的特性,主要根據灰數的核與信息域定義距離公式,但未考慮到區間灰數內每一點的差值,容易造成信息的丟失.

因此,本文針對以上距離公式的不足,考慮區間灰數的內在特性,通過信息補充,基于灰數的核和信息域,將兩個區間灰數內的每一個對應點的偏差值都考慮在內,同時剔除兩區間灰數重疊部分中任意兩點之間的偏差,給出一種改進的區間灰數距離公式.

定義13.設兩個區間灰數 ?1=[a1,b1]?[0,1]和?2=[a2,b2]?[0,1],?1的 核表示為,?2的 核表示為,l(?1)和l(?2)分 別表示倆區間灰數的信息域,ζ1=?1∩?2為兩個區間灰數的交.令：

定理1.設d(?1,?2) 為區間灰數 ?1與 ?2之間的距離,則具有如下性質：

(1)非負性：d(?1,?2)≥0.

(2) 對稱性：d(?1,?2)=d(?2,?1).

(3) 三角不等式：d(?1,?2)≤d(?1,?3)+d(?2,?3).易證本文提出的區間灰數距離公式滿足定理1 中的3 條性質.

2.3 決策模型構建

因決策者自身認知的局限性和外部環境的不確定性,考慮決策者主觀偏好,本文提出一種基于前景理論和證據融合的區間灰數多屬性決策方法,具體步驟如下所示：

Step 1.數據規范化

已知給定樣本數據,為消除效益型、成本型屬性值,以及不同物理量綱之間的差異可能會對決策結果造成的影響,避免數量級相差過大,使各個屬性值之間具有可比性,首先需要對原始樣本進行規范化處理.使屬性值xij(?) 規 范化后變為xij().

當評價指標為效益型時,對區間灰數的上界與下界處理如下：

當評價指標為成本型時,對區間灰數的上界與下界處理如下：

Step 2.選取決策參考點

前景理論是描述性范式的決策模型,考慮了不確定條件下決策者的心理行為因素.決策者根據參考點來衡量各個方案的收益和損失情況,體現出決策者損失規避與參照依賴等心理行為特征.因此決策參考點的選取對結果有著重要影響.本文在處理區間灰數多屬性決策問題過程中,借鑒TOPSIS 理論思想,以區間灰數正理想解和負理想解作為決策過程中的參考點.設X+(?)為正理想解,X-(?)為負理想解,定義如下：

采用定義6 中的區間灰數大小比較規則確定正負理想解,該公式考慮了區間灰數在區間內取值概率不相等的特點.

Step 3.計算距離測度

采用本文開發的區間灰數距離測度計算各個方案偏離正負理想解的大小.

由于區間灰數決策矩陣的正負理想方案也是以區間灰數的形式表示,因此可以使用本文定義的區間灰數距離公式計算方案在屬性下各方案與正負理想方法之間的偏離程度.

令D(xi,)和D(xi,)分 別表示方案xij與正理想解X+(?)和負理想解X-(?)之間的距離集,即：

Step 4.構建前景價值矩陣

上文利用區間灰數距離測度公式,計算各方案偏離正負理想解的程度,再結合前景理論的定義及前景價值函數,根據偏離程度定義了區間灰數環境下,方案ai下屬性cj相對于決策參考點距離的前景價值函數為：

根據實驗結果,取參數α=β=0.88,λ=2.25.

若以正理想解為參考點,則各個方案相對于正理想解是損失的：

反之,若以負理想解為參考點,則各個方案是獲益的：

由公式(22)和(23)可得負前景價值矩陣和正前景價值矩陣,以負前景和正前景分為作為區間前景值的下界和上界,構建前景價值區間矩陣

Step 5.規范化前景決策矩陣

根據區間數無量綱化的差異不變性和規范化公式,對前景決策矩陣進行規范化處理,得到規范化前景價值區間矩陣

Step 6.融合前景值

區間灰數很大程度上描述了信息的不確定性,為得到各方案的綜合前景值,本文采用證據推理算法計算綜合前景值.

令mn,ij為基本概率分配,表示xij() 支持ai接近正理想解的程度,mH,ij為未分配概率,根據公式(6-10)可得：

結合式(11),利用證據推理解析合成算法融合正負前景值,可得方案ai被 評為等級Hn的 綜合置信度 βn.因此綜合前景值表示為方案ai在 評價等級H1上的綜合置信度,即：V(ai)=[β1,(β1+βH)].

Step 7.根據文獻[18]提出的區間數大小可能度比較公式確定綜合前景值的大小,并對方案做出排序.

對于任意兩個綜合前景值分別為V(a)=[aL,aR]和V(b)=[bL,bR],記l(a)=aR-aL,l(b)=bR-bL,則 稱V(a)?V(b)的可能度為：

若p(V(a)?V(b))≥則稱V(a)?V(b),否則反之.

3 算例分析

3.1 問題描述

某部隊計劃采購火炮武器,現有4 種火炮方案可供選擇ai(i=1,2,3,4).選擇時主要考慮火炮的5 項指標cj(j=1,2,3,4,5),c1為火力突擊能力指數：c2為反應能力指數：c3為機動能力指數：c4為生存能力指數：c5為成本(元).除成本指標為成本型指標外,其余均為效益性指標.決策者給出的各屬性權重為w=(0.19,0.21,0.22,0.23).各指標屬性值以區間灰數形式表示,算例來自于文獻[19],具體數值如表1所示.

表1 原始區間灰數決策矩陣

3.2 決策過程

Step 1.數據規范化

對效益型指數采用式(12)和式(13)進行規范化處理.對成本型屬性采用式(14)和式(15)進行規范化處理.可得到規范化后的區間灰數決策矩陣,最終結果如表2所示.

表2 規范化后的區間灰數決策矩陣

Step 2.選取決策參考點

采用式(3)的區間灰數大小比較規則可確定正理想解和負理想解分別為：

Step 3.計算距離測度

采用式(18)分別計算各個方案屬性值與正理想和負理想解的距離集,結果如下所示.

Step 4.構建前景價值矩陣

根據式(22)和式(23)中的基于區間灰數距離的前景價值函數,可分別確定各個方案的負前景值和正前景值,以負前景值作為區間前景價值的下界,以正前景值作為區間前景價值的上界,構建前景價值區間矩陣,并采用式(24)和式(25)得到規范化前景價值矩陣,結果如表3所示.

Step 5.綜合前景值

根據式(6)-式(11)得到綜合前景值：

Step 6.方案排序

根據區間數大小比較式(28)對綜合前景值進行排序.最終各方案的排序結果為：a1?a4?a3?a2.

3.3 分析比較

為說明本文所提方法的有效性,將其與文獻[19]與[20]中所提的決策方法進行比較,這兩種區間灰數決策方法分別分為以下兩種情況：

表3 規范化前景價值矩陣

(1) 未考慮決策面對損失和收益時的風險態度,文獻[19]提出基于正負靶心的灰靶決策模型,定義最優和最劣方案分別作為灰靶的正負靶心,在綜合考慮方案與正負靶心的距離基礎上,建立單目標優化方程,再根據綜合靶心距 εi對方案排序.采用文獻[19]對4 種火炮方案進行綜合靶心距求解的結果為ε1=0.287 005,ε2=0.334 964,ε3=0.325 629,ε4=0.404 164.該方法未考慮決策者的心理因素,可與本文考慮決策者心理因素下的結果進行比較.

(2)考慮決策的心理行為,文獻[20]提出一種基于改進的TODIM 方法的區間灰數多屬性決策模型,TODIM 方法在前景理論的基礎上提出的一種多屬性決策方法,根據兩兩方案相比較時的收益和損失求解優勢度Φ (ai),并對方案做出選擇,該方法與前景理論方法有類似之處,因此具有可比性.采用文獻[20]的方法得到4 種火炮方案的總優勢度為Φ (a1)=0.5665,Φ(a2)=-0.2791,Φ (a3)=-0.1107,Φ (a4)=-0.1767.

對比不同決策方法下的方案排序結果,如表4所示.

表4 不同決策方法的排序結果對比

由表4可知,三種不同決策方法下的排序結果不完全一致,但最優方案均為a1,說明了本文方法的有效性.與文獻[19]相比,最大的不同在于方案a4的排序位置.直觀看來,方案a4在c3和c5兩個指標上均遠遠優于方案a2和a3,且加上屬性權重的影響,方案a4理應優于a2和a3.此外,該方法未考慮決策者的心理因素,也對決策結果造成了一定影響.與文獻[20]相比,前景理論和TOMID 方法均考慮了決策者心理因素,從排序結果上看僅中間兩個方案的排序存在差異,文獻[20]直接使用方案間兩兩比較的優勢度,本文采用證據推理方法對不確定信息進行融合,能夠減少信息丟失,更好地處理決策信息.

綜上所述,本文方法與文獻[19]中的方法進行比較,本文在決策過程中考慮了決策者對收益和損失的風險態度,更加貼近實際決策情況,更具優越性.與文獻[20]中的方法進行比較,本文基于區間灰數距離公式定義前景價值函數,并采用不確定推理方法融合信息,較大程度地保留了原始信息,使決策過程更加合理和科學,為解決區間灰數多屬性決策提供了一種有效方法.

4 結論與展望

本文提出了一種前景理論和證據推理相結合的區間灰數多屬性決策方法.該方法中的區間灰數距離測度公式采用區間灰數的核和信息域進行定義,保留了區間灰數的特性.采用前景理論和證據推理算法解決區間灰數多屬性決策問題,一方面前景理論考慮了決策者面臨收益和損失的差異性,更加符合實際.另一方證據推理算法在面對不確定信息時能夠進行有效處理,融合過程避免了原始信息的丟失.綜上,本文提出的方法為處理區間灰數多屬性決策問題提供了新的思路及有效途徑,具有一定應用價值.