多功能復雜網絡模型及其應用

鐘麗君，賓 晟，袁 敏，孫更新

(青島大學數據科學與軟件工程學院,山東 青島 266071)

0 引言

在現實中存在的大量復雜系統都可以通過復雜網絡進行抽象描述[1]。典型的復雜網絡是由節點以及節點間的連邊構成，其中系統中的個體抽象為網絡中的節點，個體間的相互關系抽象為網絡中的連邊，往往是兩個節點之間具有某種特定的關系則連一條邊，反之則不連邊。因此，復雜網絡模型可以簡單地表示為二元組G=(V,E)，其中V表示節點的集合，E表示連邊的集合。

綜上所述，在已有的復雜網絡模型中，節點用來代表真實系統中不同的個體，而邊則用來表示個體間的關系。而在實際的復雜系統中，個體往往具有多種屬性，在利用復雜網絡模型描述復雜系統時，選擇個體上的不同屬性或屬性集合，將導致節點之間的連邊不同，網絡的拓撲結構不同，從而使得網絡的功能不同。因此，為了能夠更靈活地描述復雜系統，同時考慮到復雜系統中元素的異質性以及多屬性的特點，本文提出多功能復雜網絡模型。該網絡模型僅使用節點來表示，而不涉及到連邊。此外，為網絡節點定義一個特征屬性向量，通過對節點特征屬性的選擇以及節點在對應特征屬性下映射規則定義，實現不同的網絡拓撲結構和網絡功能。

1 多功能復雜網絡模型

1.1 模型定義

定義2 特征屬性映射函數如果在節點vi,vj間基于特征屬性Ph建立某種關聯，可以通過特征屬性映射函數fh(vi,vj)實現。

定義3 特征屬性集映射函數如果在節點vi,vj間基于多個特征屬性(特征屬性集P*(P*?P))建立某種關聯，可以通過特征屬性集映射函數F(vi,vj)實現。F(vi,vj)=ξ(f1,f2,…,ft),t≤m,表示多功能網中對應給定的特征屬性集P*的映射函數。

定義4 多功能復雜網絡(Multi-functional Complex Network, MFCN)多功能復雜網絡(簡稱多功能網)由具有某些特征屬性的節點以及特征屬性集映射函數構成，記作G(V,P,F)。

P是網絡中所有節點的特征屬性集合，對于具有m個特征屬性的多功能網，可用|V|×m的矩陣來描述：

F表示多功能網基于所選擇的特征屬性集的映射函數，F(vi,vj)=ξ(f1,f2,…，fi，…,ft),t≤m。

圖1 未選擇任何特征屬性前的多功能網Fig.1 Multifunctional complex network without selecting any attributes

圖2a是選擇特征屬性P1時，基于特征屬性映射函數f1的多功能網的拓撲結構，此時F(vi,vj)=ξ1(f1)；圖2b則是選擇特征屬性P3時，基于特征屬性映射函數f3的多功能網的拓撲結構，此時F(vi,vj)=ξ2(f3)；同時選擇特征屬性P1,P3時，將得到如圖2c所示的基于特征屬性集映射函數F的多功能網，此時F(vi,vj)=ξ3(f1,f3)。

1.2 多功能復雜網絡的矩陣表示

在多功能網G(V,P,F)中，對?vi,vj∈V(i=1,2,…,|V|)，h表示節點vi,vj基于特征屬性Ph建立的關聯，它可以是有序偶或者無序偶，有序偶表示關聯有方向，無序偶表示關聯無方向，其關聯通過映射函數fh(vi,vj)實現。基于該特征屬性映射函數，可以使用一個|V|×|V|階的鄰接矩陣Ah=(aij)h表示這種網絡結構下的節點間的關聯關系，aij表示鄰接矩陣Ah中第i行第j列的元素：

(1)

其中，wh為節點vi,vj在特征屬性Ph的映射函數fh下的關聯權值，如果節點vi,vj在特征屬性Ph映射函數fh下僅體現有無關聯關系，則

(2)

當網絡節點擁有m個特征屬性時，多功能網G在所有特征屬性的映射函數下，存在m個|V|×|V|階矩陣：A1,A2,…,Am，其中，A1=(aij)1表示在特征屬性P1的映射函數f1下的鄰接矩陣，A2=(aij)2表示在特征屬性P2的映射函數f2下的鄰接矩陣，Am=(aij)m表示在特征屬性Pm的映射函數fm下的鄰接矩陣。

圖2 基于所選特征屬性集的多功能網Fig.2 Multifunctionalcomplex network based on selected attributes set

2 多功能復雜網絡應用

基于多功能復雜網絡模型，對作戰網絡進行研究與分析。從功能上講，作戰網絡依靠多種特征屬性間的信息傳遞來發揮作用。根據作戰力量在戰場上扮演的不同角色，作戰網絡中的作戰力量可以分為偵察實體S、決策實體C、影響實體I以及敵方目標T。在作戰過程中，敵我雙方偵察類、決策類、影響類以及目標類實體之間在不同屬性下相互影響、相互配合，完成不同的使命任務。

作戰網絡對戰場信息獲取、傳輸、加工和利用等作戰環節主要是通過網絡化的信息裝備實現，即作戰網絡中的偵察類節點VS、決策類節點VC、影響類節點VI、目標類節點VT，則作戰網絡描述為G(V,P,F)，其中，V=VS∪VC∪VI∪VT，F代表作戰網絡基于作戰功能選取的特征屬性集的映射函數。

某導彈防御體系由4個偵察監視類裝備天基紅外系統、改進的早期預警雷達、X波段雷達、AN/SPY雷達，1個指揮控制類實體作戰管理中心，3個影響類裝備實體標準-3導彈、愛國者-3導彈、AIM-120攔截彈組成，同時該導彈防御體系面臨2個敵方目標威脅。則該作戰網絡G的節點集合V={vS1,vS2,vS3,vS4,vC1,vI1,vI2,vI3,vT1,vT2}。

假設暫取偵察率、指揮控制與通信率、海基攔截率、陸基攔截率、空基攔截率等特征屬性描述作戰網絡，這里，網絡的特征維數m=5,網絡節點的特征屬性集合P(V)={P1,P2,P3,P4,P5}，其中，P1代表偵察率特征屬性、P2代表指揮控制與通信特征屬性、P3代表海基攔截率特征屬性、P4代表陸基攔截率特征屬性、P5代表空基攔截率特征屬性。則作戰網絡在以上所述的特征屬性下可以用一個|V|×m，即10×5的矩陣來描述：

其中，若實體存在偵察率特征屬性P1，則取相應值，否則取0；若實體存在指揮控制與通信率特征屬性P2，則取相應值，否則取0；若實體存在海基攔截率特征屬性P3，則取相應值，否則取0；若實體存在路基攔截率特征屬性P4，則取相應值，否則取0；若實體存在空基攔截率特征屬性P5，則取相應值，否則取0。

在偵察率特征屬性P1映射函數f1下，節點間的關聯關系具體表現為矩陣A1：

在指揮控制與通信特征屬性P2映射函數f2下，節點間的關聯關系具體表現為矩陣A2：

在P3，P4，P5特征屬性映射函數f3,f4,f5下，標準-3導彈的海基攔截目標概率為80%，愛國者-3的陸基攔截目標概率為70%，AIM-120導彈的空基攔截目標概率為50%，節點間的關聯關系分別表現為矩陣A3,A4,A5，如下所示：

圖3 選擇P1，P2，P3屬性時的導彈防御體系作戰網絡Fig.3 Missile defense operational network based on selected attributesP1，P2 and P3

圖4 選擇P1，P2，P4屬性時導彈防御體系作戰網絡Fig.4 Missile defense operational network based on selected atttibutes P1，P2 and P4

由于海基、陸基、空基導彈的打擊攔截力量的差異，當選擇偵查率特征屬性P1、通信與控制特征屬性P2、海基攔截率特征屬性P3時，基于特征屬性集的映射函數，確定了一種如圖3所示的作戰網絡拓撲結構。

對于此結構下的作戰環，例如，vT1→vS1→vS2→vC1→vI1→vT1，該環表示為目標vT1信息被偵察節點vS1獲取，vS1與同級偵察節點vS2協同作用，然后vS2將信息傳給指控節點vC1，vC1對獲取的信息分析處理后下指令至vI1，vI1對目標vT1實施打擊攔截的過程。

由圖3所示的作戰網絡可知，當選擇上述3種特征屬性，基于特征屬性集映射函數，該導彈防御體系可以通過海基攔截導彈標準-3導彈對敵方目標vT1實施攔截打擊。

當選擇偵查率特征屬性P1、通信與控制特征屬性P2、陸基攔截率特征屬性P4時，基于特征屬性集的映射函數，確定了一種如圖4所示的作戰網絡拓撲結構。

由圖4所示的作戰網絡可知，當選擇上述3種特征屬性，基于特征屬性集映射函數，該導彈防御體系通過陸基攔截導彈愛國者-3導彈對敵方目標vT1實施攔截打擊。

當選擇偵查率特征屬性P1、通信與控制特征屬性P2、空基攔截率特征屬性P5時，基于特征屬性映射規則，確定了一種如圖5所示的作戰網絡拓撲結構。

由圖5所示的作戰網絡可知，當選擇上述3種特征屬性，基于特征屬性集映射函數，該導彈防御體系通過空基攔截導彈AIM-120導彈對敵方目標vT2實施攔截打擊。

該導彈防御體系為完全保衛我方安全，須同時解除來自敵方目標vT1,vT2的威脅。根據作戰實體的特征屬性信息，若達到此目的，需要在考慮攔截率的前提下，選擇偵查率特征屬性P1、通信與控制特征屬性P2、海基攔截率特征屬性P3，陸基攔截率特征屬性P4，基于特征屬性集映射函數，此時該導彈防御體系作戰網絡的拓撲結構如圖6所示，可同時解除來自敵方目標vT1,vT2的威脅。

圖5 選擇P1，P2，P5屬性時導彈防御體系作戰網絡Fig.5 Missile defense operational network based on selected attributes P1，P2 and P5

圖6 選擇P1，P2，P3，P4屬性時導彈防御體系作戰網絡Fig.6 Missile defense operational network based on selected attributesP1，P2,P3 and P4

另外，當考慮作戰網絡的通信成本時，任意兩個作戰實體之間要建立通信都要首先依托戰場信息建立信息交互關系，實體之間的通信成本規則設置為f6。同時，考慮到作戰網絡的的現實連通性，vS→vI、vS→vT、vC→vT、vI→vS、vI→vC、vI→vI、vT→vC、vT→vI、vT→vT這9類節點在現實作戰環境中不存在連通或連通概率較小，暫不作考慮，通信成本關系矩陣中的值置為∞。具體的，置vT→vS通信成本為2萬，vS→vS通信成本為4萬，vS→vC通信成本為6萬，vC→vS通信成本為7萬，vC→vC通信成本為3萬，vC→vI通信成本為5萬，vI→vT通信成本為8萬，特殊的，aii=0。則這種映射規則下的矩陣表示為A6:

通過對網絡的運算，可得到其他多層次的網絡信息，如上面所述的實體間的通信成本即是依賴于信息交互關系分析所得。類似這樣的網絡運算很多，可根據現實需求，針對特定功能，選擇相應特征屬性分析運算，從而進一步作出決策。

3 總結

現實復雜系統中的個體往往具有多種屬性，選擇不同的屬性(集)，個體間的相互關系將會不同，進而使得網絡的整體功能也將不同。但現有的復雜網絡模型在構建網絡時，其網絡拓撲都是固定的，不能根據節點上的不同屬性(集)來靈活地構建具有不同功能的復雜網絡。本文在研究現有復雜網絡模型定義的基礎上，提出并建立了多功能復雜網絡模型。該網絡模型僅使用節點及其關聯的屬性集來描述，在網絡模型定義中不涉及到連邊，而是動態地選擇節點特征屬性(集)，依據映射規則來確定網絡的拓撲結構，進而定義網絡的具體功能。從而實現利用一個網絡模型，根據不同屬性(集)構件具有不同功能的網絡的目的。對于包含異類、多屬性元素的復雜系統，多功能復雜網絡模型提供了從不同屬性(集)角度，構建不同網絡拓撲結構和不同網絡功能的新方法，為復雜系統網絡分析提供了新的研究思路。在今后的研究中，對于多功能復雜網絡模型上的動力學性質將作為主要的研究方向。