(2+1)維廣義淺水波方程的非局部對稱及精確解

張琳琳,呂海玲

(1.聊城大學 數學科學學院，山東 聊城 252059;2.棗莊學院，山東 棗莊 277160 )

0 引言

非線性微分方程在很多領域有著重要的應用，如量子理論[1～2]、有限元[3～4]等，求解非線性微分方程一直是數學家研究的重要方向之一.19世紀，挪威數學家Sophus Lie從求解微分方程入手，依靠微分幾何方法和射影幾何方法建立起一種變換[5]，這種變換將空間直線簇和球面一一對應.不久又引入了一般的連續變換群的概念，此變換群可將微分方程的解表示出來并加以分類，這就是我們現在研究的Lie變換群[6～7].經過多年的研究，Lie群的概念得到了飛速的發展，產生了很多推廣方法，如經典、非經典Lie群方法，廣義條件對稱方法，特別是近些年由Vinogradov和Krasil’shchik提出的非局部對稱，不管是從理論還是應用方面都得到了很大的飛躍，拓展了Lie群方法的應用范圍，得到了以往方法難以構造的新結果.1988年Bluman提出了勢對稱的概念，利用方程的勢系統構造非局部對稱，此方法非常有效，并且可以應用計算機求解，不僅提高了運算的準確性，而且擴展了非局部對稱的范圍.2012年樓森岳等[8]，利用Darboux變換、 B?cklund 變換構造非局域對稱，并成功地把非局域對稱局域化，給出了KdV方程一些新的精確解，如橢圓周期波和孤立子的相互作用解，這些新的結果為研究這些方程的物理機制指明了方向.

在研究非局域對稱的過程中發現[9～11]，非局部對稱都是與一些輔助系統有關系，如勢系統、B?cklund變換等，通過引入不同的輔助系統，可以構造方程不同類型的非局域對稱，這些對稱可以用來構造系統的新的精確解、守恒律等工作.

本文將利用廣義淺水波方程的Lax對作為輔助系統，構造方程的非局部對稱及精確解，(2+1)維廣義淺水波方程有下面的形式，

uxt+auxuxy+buyuxx+cuxy+duxxxy=0

(1)

其中a,b,c,d為任意常數.

當a=b=d=1,c=0時,方程轉化為一般的淺水波方程.當a+b=-6,c=0,d=1，則方程轉化為著名的KdV方程uxt-6uxuxx+uxxxx=0.據我們查詢所知，此方程的非局部對稱還沒有人研究，因此研究此方程的非局部對稱及精確的相互作用解是非常有意義的工作.在研究方程的非局部對稱之前，我們先利用截斷Painlevé分析研究此方程的Schwartzian形式，為后面非局部方程的應用打好基礎.

1 (2+1)維廣義淺水波方程的截斷Painlevé分析

(2)

首先我們對方程(2)做Painlevé截斷分析，通過領頭項分析可知，可以假設方程(2)具有下面形式的解，

(3)

其中u0,u1是(x,y,t)的函數，φ=φ(x,y,t)是一個任意的奇異流形.通過計算可知，

(4)

因此得到(3)的具體形式為，

而且，方程(2)滿足下面Schwartzian形式，

(5)

我們知道，方程的Schwartzian形式(5)在M?bius變換下是不變的，

(6)

因此，可以通過(5)的解，以及變換(6)構造新的精確解.

2 (2+1)維廣義淺水波方程的的非局部對稱

為了構造方程(2)的非局部對稱，首先給出方程的Lax對[12]，

ψxx=-uxψ,

(7)

通過相容性條件ψxxt=ψtxx即可得到方程(2).

通過計算可知，方程(2)的對稱滿足下面線性方程，

(8)

對稱σ1具有下面的形式，

(9)

(10)

σ1=ψ2.

(11)

由于非局部對稱不可以直接用來構造群不變解，因此我們需要構造一個擴大系統，使之Lie對稱等價于方程(2)的非局部對稱，由Lax對(7)可得，

(12)

其中變換u→u+εσ1,ψ→ψ+εσ2.

為了求得σ2，根據方程組(12)可以令

σ2=ψφ，

(13)

把(11)(13)帶入(12)可得下面相容方程組，

(14)

而且可以驗證，變量φ滿足方程(2)的Schwartzian形式(5)，這為我們后面計算帶來的方便，而且φ滿足的對稱為σ3=φ2.因此方程組(2)，(7)，(14)稱為封閉系統，利用得到的對稱，可以構造系統的群不變解，求解下面初值問題，

(15)

求解(15)得到，

(16)

例如，我們給出方程(2)的一個簡單的解u=2tanh(x)，可以計算ψ,φ滿足

把上述解 帶入到(16)式即可已得到方程(2)新的精確解，由于式子比較繁瑣，這里就不再給出了.

3 (2+1)維廣義淺水波方程新的精確解

為了利用非局部對稱得到更多的精確解，我們可以利用封閉系統的Lie對稱來研究，為此，先研究封閉系統的Lie對稱.

因為封閉系統的對稱滿足方程(8)(12)以及

(17)

假設σ1,σ2,σ3具有下面的格式，

σ1=Xux+Yuy+Tut-U,
σ2=Xψx+Yψy+Tψt-P1,
σ3=Xφx+Yφy+Tφt-P2,

(18)

其中X,Y,T,U,P1,P2均為(x,y,t,u,b,c,ψ,φ)的函數，把(18)式以及封閉系統代入到(8)(12)及(17)式中，利用決定方程組得到下面結果，

X=c3x+F1(t),Y=c3(2ct-2y)+c1y+c4,T=c1t+c2,

(19)

其中，ci,i=1...3為任意常數，Fj,j=1...5為相應變量的任意函數.從(19)可以看出，封閉系統的Lie對稱包含了方程(2)的非局部對稱，因此把非局部對稱等價的轉化為了Lie對稱，下面利用Lie對稱構造方程的精確解.

(20)

得

(21)

我們把(21)式代入到封閉系統(2)(7)(14)里得到Ψ,U滿足下面形式，

(22)

因此只要求出Φ，系統的解即可得到，又知道φ滿足Schwartzian形式(5)，故把(21)帶入(5)得，

(23)

為了求解方程(23)，先做行波變換，令Φ(ξ,η)=Φ(ξ+μη)=Φ(Δ)，得，

再令ΦΔ=G,則上式變為，

(24)

驗證可知，方程(24)等價于下面橢圓方程，

(25)

其中C1,C2為任意常數.

由于，方程(25)為橢圓方程，因此具有橢圓函數解，假設方程具有下面形式解，

G=a0+a1sn(Δ,l)

(26)

其中sn(Δ,l)為Jaccobi正弦函數，a0,a1為待定系數，將(26)代入到(25)中，得到下面四組解，

(27)

a1,α,l為任意常數.

把(27)式帶入(26)可得到方程(25)的解，進而由ΦΔ=G可以得到Φ的表達式，最后通過(21)式可以得到原方程的精確解，由于表達式比較龐大，這里就不再給出.而且通過(21)式可以看出，得到的解為扭結孤立子與橢圓函數相互作用解，這種形式的解可以用來解釋淺水波中的復雜波的由來.

4 總結

本文主要是利用非局部對稱方法研究了(2+1)維廣義淺水波方程，由于非局部對稱與方程的的Schwartzian形式有著密切的聯系，因此文中通過截斷Painlevé分析方法構造了方程的Schwartzian形式.又由于方程的非局部對稱不能直接用來構造方程的群不變解，因此通過引入新的變量，將非局部對稱延拓成封閉的局域系統，而且封閉系統的Lie對稱包含原系統的非局部對稱，文中利用得到封閉系統的的Lie對稱構造了群不變解，并利用非局部對稱約化求解原方程，得到了方程的精確解，而且這種形式的解即孤立子解與橢圓周期波解的相互作用解，用一般的Lie對稱方法是求不出來的，而且這種相互作用解為解釋淺水波中的復雜波提供了科學依據.