有限域上兩類卷積碼的構造

李鳳偉,孫曉明

(棗莊學院 數學與統計學院，山東 棗莊 277160)

0 引言

在編碼器復雜度相同的情況下，卷積碼的性能優于分組碼，因此卷積碼幾乎被應用在所有無線通信的標準之中.近幾年來，卷積碼以及量子卷積碼受到許多專家學者的注意，相繼出現不少優秀的成果.Lee[1]闡述了存儲級數等于1的卷積碼的重要性，他指出相同比率的卷積碼中，存儲級數等于1的卷積碼比存儲級數大于1的卷積碼具有更大的自由距離.Hole[2]與Rosenthal[3]利用BCH碼分別構造了存儲級數等于1的卷積碼.通過Reed Solomon碼和BCH碼,H.Gluesing-Luerssen等研究了雙循環卷積碼[4].另一方面，對經典卷積碼和它們相應屬性的研究以及構造最大距離可分 (簡稱MDS)卷積碼也在許多文獻中提出.Gluesing-Luerssen等[5]給出了一類強MDS卷積碼.最近，Guardia教授[7～10]根據Piret[6]提出的方法構造了MDS卷積碼以及量子MDS卷積碼并做了進一步的推廣；熊茂盛教授[11]研究了存儲級數為1的MDS卷積碼的構造，同時得到了更多的強MDS卷積碼.

1 相關知識

在這一節里，我們簡單地介紹一下負循環碼、duadic 碼以及卷積碼的基本知識和相關的概念.

1.1 負循環碼和duadic碼

wt(c)=|{j:cj≠0,0≤j≤n-1}|，

常循環碼C的最小漢明距離d(C)定義為

d(C):=min{wt(c)|c∈C,c≠0}.

我們把碼字c=(c0,c1,…,cn-1)寫成多項式形式

c(x)=c0+c1x+…+cn-1xn-1∈Fq[x]，

則C是λ-常循環碼當且僅當C是環R=Fq[x]/(xn-λ)中的一個理想.由于R的每個理想都是主理想，所以存在首相系數為1的多項式g(x)∈Fq[x],g(x)|(xn-λ)，使得

C=(g(x))=g(x)R={a(x)g(x)∈R:a(x)∈R}，

這也就是說，λ-常循環碼C和g(x)是一一對應的，我們稱g(x)為λ-常循環碼C的生成多項式，稱h(x)=(xn-λ)/g(x)為λ-常循環碼C的校驗多項式.設β為Fq的某個擴域的一個n次本原單位根，稱集合T={1≤i≤n-1:g(βi)=0}為C的定義集，βi稱為C的根或零點.顯然C由T唯一確定.

對于以g(x)為生成多項式的長度為n，維數為k的q元的常循環碼C，g(x),xg(x),…xk-1g(x)構成C的一組Fq基.

設g(x)=g0+g1x+…+gn-kxn-k(gn-k=1)，則C的一個生成矩陣可以表示為

設C的校驗多項式h(x)=h0+h1x+…+hk-1xk-1，則C的一個校驗矩陣可以表示為

Duadic碼是循環碼中非常重要的一類，是二次剩余碼的推廣.Duadic碼分為兩種：even-like Duadic碼與odd-like Duadic碼.

引理1.1.1[12]:(BCH界)設C=(g(x))是長度為n的循環碼，gcd(q,n)=1.設β為Fq的某個擴域的一個n次本原單位根，若對某一正整數l，g(x)的根為βl+i，i=1,2,…,d-1，其中d-1≤deg(g(x))，則碼C的最小漢明距離至少是d.

引理1.1.2[12]:(singleton界)若存在參數為[n,k,d]的q元碼C，其中1≤d≤n-1，則n≥k+d-1.若等號成立，稱C為MDS碼.

1.2 卷積碼

定義 1.2.1比率為k/n參數為(n,k,γ;m,df)q的卷積碼V是Fq[D]n的一個子模，它可由多項式矩陣G(D)生成，G(D)=(gij)∈Fq[D]k×n為一個基本不可約的矩陣，即

V={u(D)G(D):u(D)∈Fq[D]k},

在上面的定義中，元素v(D)=(v1(D),v2(D),…,vn(D))∈Fq[D]n的重量定義為

其中wt(vi(D))表示vi(D)的非零系數的個數.若考慮洛朗級數域Fq((D))，定義u(D)的重量為

wt(u(D))=∑i∈Zwt(ui(D)).

如果存在無窮漢明重量的u(D)k∈Fq((D))k，使得u(D)kG(D)的漢明重量有限，我們稱生成矩陣G(D)為catastrophic.本文里，我們構造的卷積碼都是noncatastrophic.

V⊥={u(D)∈Fq[D]n|=0,?v(D)∈V}.

2 新的卷積碼的構造

在這一節里，我們將利用代數的方法從循環duadic碼和負循環duadic碼來構造新的卷積碼.首先我們給出一個引理.

(a) 矩陣G(D)是卷積碼V的一個基本不可約的矩陣.

2.1 由循環duadic碼構造新的卷積碼

2.2 由負循環duadic碼構造新的卷積碼

引理 2.2.1[15]令s∈{1,2,…,2n-1}且(s,2n)=1.設q≡3(mod4)且n為oddlyeven，則存在多項式A(x),B(x)和置換

使得

xn+1=A(x)B(x)(x2+1)，

這里μs(A(x))=(B(x))，μs(B(x))=(A(x)).令

C1=<(x2+1)A(x)>，C2=<(x2+1)B(x)>，D1=,D2=，

則C1,C2是一對even-like負循環duadic碼，D1,D2一對odd-like負循環duadic碼.

定理 2.2.2 設p,q為不同的奇素數且q≡3(mod4).令n=2pt，(n,q)=1.設r為q模n的乘法階，如果2

證明：由[15,定理8]可知：

x2pt+1=λA(x)A*(x)(x2+1)，

其中λ∈Fq，A(x)∈Fq[x]，A*(x)為A(x)的互反多項式.令

C1=<(x2+1)A(x)>，C2=<(x2+1)A*(x)>，

D1=,D2=，