基于Duhem前饋逆補償的壓電陶瓷遲滯非線性自適應滑模控制*

徐子睿,許素安,富雅瓊,洪凱星,徐紅偉

(中國計量大學機電工程學院,杭州 310018)

壓電陶瓷由于其體積小,響應快,定位精度高等優(yōu)點,是目前微定位系統(tǒng)比較理想的驅動元件[1-2]。但是其自身具有的遲滯特性,對定位精度影響較大。為了降低遲滯特性對定位系統(tǒng)的定位精度的影響,國內外學者提出了許多遲滯模型和控制方案。比較常用的遲滯模型有Preisach模型[3-5],PI(Prandtl-Ishlinskii)模型[6-7],Bouc-wen模型[8-9],Duhem模型[10-11]等。Preisach模型是廣受關注的模型,但是二次積分項的存在使其計算過程十分復雜,求逆繁瑣.PI模型由Preisach模型簡化而來,但不易根據實測數據來調整模型.Bouc-wen模型可以用來描述大多數的遲滯現象,設計控制器方便,但輸入形態(tài)有限制對結果影響較大。Duhem模型的描述比較符合壓電陶瓷非線性的動態(tài)性能,函數表達式明確,包含遲滯輸入與輸出的導數項,是一個動態(tài)模型,且僅當遲滯輸入方向發(fā)生 改變時,其輸出特性才會改變,方便建立逆模型.控制策略一般有:滑模控制,自適應控制,滑模自適應控制等。SU等學者將遲滯看做擾動,設計了一種魯棒自適應控制器對其進行補償[12]。但是直接控制方法增加了閉環(huán)對擾動進行抑制的負擔,且非線性方法設計也較為復雜。而將逆模型作為前饋控制器可以一定程度上減弱壓電陶瓷的非線性,也便于在此基礎上設計控制器。滑模控制具有快速響應,對參數變化和擾動不靈敏,無須系統(tǒng)在線辨識,實現簡單等優(yōu)點,可以避免實際系統(tǒng)中許多不確定因素的影響。自適應控制是一種能修正自己特性以適應對象和擾動動態(tài)變化的一種控制方法,壓電陶瓷的遲滯非線性與輸入信號的頻率有關,且本身對擾動十分敏感,所以將滑模控制與自適應控制相結合,理論上可以達到很好的控制系統(tǒng)性能。

本文選用Duhem逆模型作為前饋控制器,與自適應滑模控制相結合對壓電陶瓷進行遲滯補償控制。首先,根據實驗所得的輸入輸出數據,應用遞推最小二乘法對Duhem模型中的未知參數進行辨識,然后,根據辨識結果建立Duhem逆模型。由于壓電陶瓷的遲滯非線性與輸入信號的頻率有關,且本身對擾動十分敏感,故設計自適應滑模控制器構成閉環(huán)控制,最后,將Duhem逆模型作為前饋控制器,與自適應滑模控制相結合,進一步提高系統(tǒng)的跟蹤精度和魯棒性。

1 遲滯位移的測量

利用實驗室設備(詳見5),對壓電陶瓷的遲滯位移進行測量。每10 s改變5 V輸入電壓,電壓變化范圍為0～30 V;每15 s改變5 V輸入電壓,電壓變化范圍為0～50 V;每10 s改變1 V輸入電壓,電壓變化范圍為0～60 V。每500 ms采集一次數據,并對同一電壓下的位移值取平均值減小測量誤差。根據上述實驗得到的遲滯位移與相應的電壓值,通過MATLAB繪制壓電陶瓷的電壓-位移曲線,如圖1所示。

圖1 壓電陶瓷的電壓-位移曲線

從圖1中我們可以看出壓電陶瓷具有明顯的遲滯非線性,通過建立其遲滯逆模型作為前饋控制器,可以一定程度上減弱遲滯非線性。

2 遲滯模型及其逆模型的建立

2.1 Duhem遲滯模型的建立

Duhem模型的函數表達式比較清晰簡明,模型中參數的不同變化可以反映不同的遲滯特性,準確辨識出模型中的各個參數,即可得到Duhem模型。Duhem模型可以寫成如下微分方程表達式[13]:

(1)

式中:ɑ是常數,v是遲滯輸入,w是遲滯輸出,f,g定義為分段連續(xù)函數。

(2)

式中:

(3)

(4)

令Fi=αfi,(i=0……4),則式(2)可以寫為:

(5)

為了便于辨識,將式(5)離散化,dw=w(k)-w(k-1),dv=v(k)-v(k-1),式中w(k)是系統(tǒng)k時刻的輸出,v(k)是系統(tǒng)k時刻的輸入。

令V1=|v(k)-v(k-1)|,V2=v(k)-v(k-1),Y(k)=w(k)-w(k-1),則式(5)可以寫為如下形式:

(6)

系統(tǒng)的輸入v、輸出w及其導數是可測的,式中α,Fi=αfi,(i=0,…,4),gj(j=0,…,3)為系統(tǒng)參數;只要準確辨識出α,Fi,gj就可以得到Duhem模型。利用遞推最小二乘法[14-15]可以很容易得到上述參數,辨識結過程如圖1所示,橫坐標為遞推辨識的次數,縱坐標為參數的值。可以看出,模型中各參數在第221次估計后趨于穩(wěn)定。取ɑ=0.017 200;f0=-1 201.765 556;f1=125.796 568;f2=3.119 384;f3=-0.080 180;f4=0.000 692;g0=107.390 783;g1=-1.417 493;g2=0.071 795;g3=-0.000 881。

根據實驗測量的數據得到測量位移曲線,對取上述參數的Duhem模型輸入與實驗時相同的電壓值得到擬合位移曲線,如圖2所示。其中,實線為測量曲線,虛線為擬合曲線。

圖2 Duhem模型參數辨識過程圖

圖3為擬合誤差,表明絕對誤差不超過0.12 μm。

圖3 系統(tǒng)遲滯曲線與擬合曲線

2.2 Duhem遲滯模型逆模型的建立

建立逆模型的目的,是使用其作為前饋控制器,若用M[v(t)]表示正模型,M-1[w(t)]表示逆模型,則期望信號先后經過前饋控制器和被控對象可以用式(7)表示:

w=M{M-1[w(t)]}(t)=1

(7)

即理想狀態(tài)下的傳遞函數為1,輸出信號完全復現輸入信號。因此,建立較為準確的逆模型有利于對遲滯系統(tǒng)進行有效補償。

基于逆函數定理,Duhem模型的逆模型可以表示為如下形式:

(8)

(9)

式中:v為逆模型的輸入,w為逆模型的輸出,式(8)和式(9)中的參數與式(2)中的參數相同,只需將2.1中的得到的辨識結果代入式(8)和式(9)即可得到Duhem模型的逆模型。

3 自適應滑模控制器設計

滑模變結構控制具有算法簡單,可靠性高等優(yōu)點,自適應控制可以適應控制對象的動態(tài)變化,兩者結合并與逆模型前饋控制器一同組成如圖4所示的控制系統(tǒng)。其中,補償電壓uoff由前饋逆模型得到,系統(tǒng)誤差e由實際輸出wr與期望輸出wd做差得到,并作為滑模控制器的輸入。前饋控制器輸出的補償電壓uoff與自適應滑模控制器輸出的電壓usmc共同組成廣義被控對象的控制電壓u。

圖4 擬合誤差

圖5 前饋結合自適應滑模控制系統(tǒng)框圖

3.1 自適應滑模控制律及Lyapunov穩(wěn)定性分析

根據文獻[16],在低頻工作區(qū)間內可以將壓電陶瓷的傳遞函數簡化為一階慣性系統(tǒng):

(10)

式中:T為時間常數,Δ為擾動,假設Δ有界,|Δ|≤D,D>0為擾動上界。

用θ代替T,則式(9)可以寫為

(11)

定義系統(tǒng)誤差為

e=wr-wd

(12)

定義滑模函數

s=Ce

(13)

令C=1>0,滿足Hurwitz條件。則有

(14)

將式(10)代入式(13)可得

(15)

設計滑模控制律為:

usmc=ua+us1+us2

(16)

控制律usmc各項表示為:

(17)

us1=-kss

(18)

us2=-ηsgn(s)

(19)

定義Lyapunov函數為

(20)

(21)

取自適應律為

(22)

則有

-kss2-ηsgn(s)s+Ds<-kss2≤0

(23)

為了減小抖振帶來的影響,使用飽和函數sat(s)來代替符號函數sgn(s)。

(24)

式中:h稱為邊界層,飽和函數的本質為:在邊界層外,采用切換控制,在邊界層內,采用線性化反饋控制。

4 仿真分析

根據實驗輸入輸出數據,選擇T=8,ks=400,γ=30,θ=0.11。利用Simulink對上述系統(tǒng)進行仿真,結果如圖6所示。

圖6 自適應滑模控制仿真結果

圖6中,虛線為理想曲線,實線為跟蹤曲線。從圖6可以看出兩條曲線幾乎重合,選取3 s附近的曲線細節(jié)如圖7所示,可以看出跟蹤曲線實際上是在理想曲線的上下波動,誤差小于1‰,說明了該控制算法的有效性。

圖7 自適應滑模控制仿真結果細節(jié)

5 實驗分析

壓電陶瓷位移測量采用雙頻激光外差干涉法,具有抗干擾能力強、可溯源性等優(yōu)點。該系統(tǒng)由激光管、干涉儀光學組件、測量機箱、上位機、壓電控制器、壓電陶瓷等組成[17]。

實驗所需設備如圖8所示。激光管的型號為ZYGO ZMI7702,可以輸出兩束偏振光,它們的偏振方向互相垂直,頻差為20 MHz,用于位移測量;雙程干涉儀的型號為7006A。測量機箱的型號為ZMI2000,為激光管和數據采集卡提供電源,并提供與外部設備的通訊接口;上位機使用Labview編寫,獲取壓電陶瓷的位移數據以及控制壓電控制器產生驅動電壓;壓電控制器的型號為THORLABS BPC301,可提供0～150 V的驅動電壓;壓電陶瓷的型號為THORLABS AE0505D16F,其理論分辨率為100 nm/V,輸出位移為0～17.4 μm,最大驅動電壓是150 V。此外,為了減小環(huán)境對實驗的影響,該測量系統(tǒng)還采用了氣浮隔震臺,型號為SPFO-I-B,其固有頻率在垂直方向小于1.5 Hz,水平方向小于2 Hz。

圖8 實驗設備實物圖

5.1 遲滯補償實驗

采用前饋與自適應滑模控制結合按照電壓與位移1∶100的關系進行遲滯補償實驗,每隔15 s,改變10 V電壓,每500 ms采集一次數據,得到圖9。圖中虛線為控制前的時間-位移曲線,實線為控制后的時間-位移曲線。圖9表明,控制前遲滯特性明顯,控制后同一電壓下的位移量基本一致。遲滯得到了抑制。為了減小測量誤差,將同一電壓下的所有位移測量值取平均并繪制電壓-位移曲線,得到圖10和圖11。圖10為控制前的電壓-位移曲線,圖11為控制后的電壓-位移曲線。控制前的最大遲滯量為1.281 7 μm,控制后最大遲滯量為0.049 4 μm,減小了96.1%,遲滯得到了有效的抑制。

圖11 控制后時間-位移曲

圖9 控制前與控制后的時間-位移曲線

圖10 控制前電壓-位移曲線

5.2 位移跟蹤控制實驗

采用前饋逆補償控制與自適應滑模直接控制分別對同一組頻率不同的正弦信號進行跟蹤,將得到的實驗數據進行采集和處理,得到圖12。圖中上方的點畫線為復合控制下的跟蹤曲線,實線為直接控制下的跟蹤曲線,離散點為期望位移點。圖12下方曲線為兩種控制下的誤差對比,其中實線為直接控制下的跟蹤誤差,點畫線為前饋逆補償控制下的跟蹤誤差。

圖12 兩種控制的時間-位移曲線及其誤差

與直接控制相比,前饋逆補償控制下位移跟蹤的輸出絕對誤差由0.37 μm下降為0.27 μm,下降了27%,平均絕對誤差由0.095 μm下降為0.078 μm,下降了17.9%,由此表明逆補償控制比直接控制更加平穩(wěn)。

6 結論

本文利用多項式逼近Duhem模型中的未知分段函數f(·)和g(·),利用遞推最小二乘法對Duhem模型中的未知參數進行辨識,并根據辨識結果求取逆模型。并采用前饋逆補償控制進行壓電陶瓷的遲滯補償實驗。實驗結果表明,前饋逆補償控制下壓電陶瓷的位移遲滯量減小了96.1%,有效的減弱了遲滯,與直接控制相比,前饋逆補償控制下位移跟蹤的輸出最大絕對誤差由0.37 μm下降為0.27 μm,下降了27.0%,平均絕對誤差由0.095 μm下降為0.078 μm,下降了17.9%。前饋逆補償控制下誤差更為平穩(wěn),具有更好的魯棒性和跟蹤精度。