對一道物理奧賽力學題解答錯誤的分析

李小杰

(四川省西華師范大學物理與空間科學學院 637009)

該中學物理奧賽培訓題目長期被很多高中物理奧賽輔導資料所編入．為方便讀者，先將原題及解答轉錄于下，再對其中存在的錯誤予以分析，最后提出原題的修改建議.

一、原題及原解答

例題3個半徑同為R、質量同為m的勻質光滑小球放在光滑水平桌面上，用一根不可伸長的均勻橡皮筋把它們約束起來．如圖1所示，將一個半徑也為R，質量為3m的勻質光滑小球放在上述3個小球正上方，因橡皮筋約束，下面3個小球并未分離．試求：

(1)放置上面的小球后，橡皮筋張力的增量△T；

(2)將橡皮筋剪斷后，上面的小球碰到桌面時的速度u．

解稱上面的小球為球1，球心為O1，下面三個小球分別為球2、球3、球4，球心對應為O2、O3、O4．

(1)連結O1、O2、O3、O4，如圖2所示，則有

對圖2中的α角，易知有

設球1對下面每個小球的壓力為N，則球2、3、4對球1的反作用力的合力為3mg(球1的質量為3m)，即有

3Ncosα=3mg.

球2、3、4各自所受的力N的水平分力為

如圖3所示，橡皮筋張力T0的增量△T應正好用來平衡N′．很易導得2ΔTcos30°=N.

二、原解答的錯誤之分析

筆者認為，對(1)的解答中存在錯誤．試分析如下:

當用橡皮筋將下面三個球約束起來后，橡皮筋中便因微小拉伸形變產生了張力T0，與此同時，下面的三個球之間也相應地因微小壓縮形變而產生了相互的壓力N0，如圖4所示．顯然有T0=N0

放上球1后，由于此球對下面三球向外側的擠壓作用N′將使下面三球原來的微小壓縮形變有所減小(可能完全恢復，也可能僅部分恢復)，從而導致下面三球之間的壓力減小．與此同時，也將使橡皮筋原有的微小拉伸形變進一步增大，從而導致橡皮筋的張力增大．設下面三球之間的壓力減小了ΔN0，橡皮筋的張力增大了ΔT，如圖5所示．則下面任意一球在水平方向應滿足的平衡條件為

2(T0+ΔT)cos30°=2(N0-ΔN0)cos30°+N′

將前面得到的T0=N0代入，即得

2ΔTcos30°=N′-ΔN0

將此式與原解答所得的2ΔTcos30°=N′相比較，便可得知原解答的錯誤在于疏忽了下面三球之間壓力的減小ΔN0，誤以為三球之間的壓力始終不變.

由于ΔN0大小的不確定性，所以原題實際上是無法解答的.

三、原題之微改

為了使原題的基本構思立意不變但又可解，可將其改為：

3個半徑同為R、質量相同的勻質光滑小球放在光滑水平桌面上，用一根不可伸長的均勻橡皮筋把它們約束起來，此時橡皮筋的張力為T0．然后，如圖1所示，將一個半徑也為R，質量是上述個小球質量3倍的勻質光滑小球放在上述3個小球正上方，從而使得下面3球之間的壓力減小為零，因橡皮筋約束，下面3個小球并未分離．試求：

(1)放置上面的小球后，橡皮筋張力的增量△T；

(2)將橡皮筋剪斷后，上面的小球碰到桌面時的速度u．