高等數學視野下的高中數學
——議泰勒公式在高考中的應用

孫 博

(浙江省永康市第一中學 321300)

一、引言

1.泰勒公式

在初等函數中，多項式是最簡單的函數.因為多項式函數的運算只有加、減、乘三種運算.如果能將有理分式函數，特別是無理函數和初等超越函數用多項式函數近似代替，而誤差又能滿足要求，顯然，這對函數性態的研究和函數值的近似計算都有重要意義.

若任意一個函數f(x)(不一定是多項式函數)，只要函數f(x)在a存在n階導數，總能形式地寫出一個相應的n次多項式

定理1(泰勒定理)若函數f(x)在a存在n階導數，則?x∈U(a)，有

f(x)=Tn(x)+ο[(x-a)n]，(1)

2.泰勒公式常用的幾個展開式

二、高考中的泰勒公式

例1 (2015年福建高考數學第20題)已知函數f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx(k∈R)，

(1)證明：當x>0時，f(x)

(2)證明：當k<1時，存在x0>0,使得對任意x∈(0，x0)，恒有f(x)>g(x)；

(3)確定k的所有可能取值，使得存在t>0，對任意的x∈(0,t)恒有|f(x)-g(x)|

分析與解答在(1)問中，高考的標準答案是構造函數，利用導數求函數的單調性，求出函數上界，進而證明出不等式的成立，證明如下：

令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x，x∈(0，+)，則有

當x∈(0，+)時，F′(x)<0，所以F(x)在(0，+)上單調遞減，故當x>0時，

F(x)0時，f(x)

ex>1+x，當x>0時，不等式兩端同時取以e為底的對數并化簡得x>ln(1+x)，得證.這就是含有高等數學知識中泰勒公式身影的一道高考題目，了解題目的起源，會更加透徹的看清題目的內涵，其余各問迎刃而解.

(1)求a,b；

(2)證明：f(x)>1.

分析與解答在(2)中，要證明不等式的成立，參考答案給出了構造函數求導證明的思想方法，這道題目有泰勒公式的背景，可以利用泰勒公式得出的不等式來進一步轉化與證明，如下：

因為由泰勒公式得ex>1+x，x>0，

①

以泰勒公式為背景的不等式經過轉化與變形，便可以在相應題目中得以“秒殺”，很大程度上簡化解題步驟.

總之，從以上具體的高考真題實例的探究與發現中，在高等數學視野下，利用泰勒公式來解決高考函數中的有關不等式問題主要是實現將超越不等式轉化為代數式不等式，既簡化了運算過程，又為高考中的函數不等式問題的解法注入了新的活力并充分展現了泰勒公式無盡的魅力,對數學核心素養的落實起到重要作用.