追本溯源 教學相長
——2019浙江數學高考第21題

胡孟君

(浙江省紹興市越州中學 312000)

2019年是浙江省高考改革數學文理合卷考試的第三年，試卷嚴格遵循《2019年浙江省普通高考考試說明》和《浙江省普通高中學科教學指導意見》的要求，全面覆蓋高中數學基礎知識，突出主干知識，重視知識的內在聯系，秉承了“簡約而不簡單”的風格.試題面向全體考生，為不同基礎、不同能力水平的的考生都提供了適當相應的思考空間，體現了較好的區分度.本文以2019年浙江高考第21題為例，從試題背景、結構分析、試題解法等多方位進行研讀，希望對平時的教學有所啟示.

一、試題呈現

(本題滿分15分)如圖，已知點F(1, 0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點．過點F的直線交拋物線于A,B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側．記△AFG，△CQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的準線方程；

二、試題背景

這是一道圓錐曲線的綜合題，本題以拋物線為載體，常見的問題為基礎，常用的方法為手段來設計問題，引入新的幾何背景和設問方式，敘述簡潔清楚，很好地呈現了浙江省試題命題“簡約而不簡單”的風格.

第一問易得p=2，拋物線的準線方程x=-1.所以，后面的篇幅我們將圍繞第二問進行.

三、結構分析

條件：

1.拋物線的方程y2=4x.

2.AB為過焦點的弦，C為拋物線上的點，Q為AC與x軸的交點.

3.△ABC的重心G在x軸上.

數據分析完成第一小題完成韋達定理得到面積比的函數182200732009200

學生思維的難點

上表是選取本校數學成績較好的200位同學作的一項調查.通過調查發現，學生思維的難點主要表現在以下幾個方面：

1.△ABC的重心G的轉化.

3.運算能力.高考對圓錐曲線的考查主要體現在兩個方面：

①轉化能力；

②運算能力.

在解決圓錐曲線的綜合題時，能探索出解題思路，已經跨出了一大步，但是離最終的勝利卻仍然面臨一個巨大的挑戰——計算問題.所以尋求簡捷合理的有效途徑，優化計算過程，顯得尤為重要.

四、試題解法

1.代數法——設點

代數法的特點是，直譯題意，順勢而下.方法如下：

令m=t2-2，則m>0，

點評這是考試院給出的答案.這種解法很好地體現了浙江高考對解析幾何大題的定位：考查學生用坐標法解決幾何問題的能力和學生的運算能力，同時降低了計算的難度.

2.代數法——設直線

根據對稱性，下設y1>0，

設AB直線方程：x=my+1(m≠0，若m=0則y3=0不符合題意)，

點評解析幾何常見的方法是設點設線，很多同學總是舉棋不定，實際上這兩種方法是相通的，重要的是理清變量之間的關系，當然還要有過硬的運算功底.

3.幾何法

由重心的性質，可知S△ABG=S△ACG

設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(y1>0>y2)，

點評這種解法利用平面幾何的性質，將兩個三角形的面積比轉化為線段長度之比，然后將其轉化為縱坐標之間的關系，很大程度上簡化了前面代數法中所帶來的繁雜的計算，提高了解題效率.

4.向量法

由F,G,Q三點共線，得λ+μ=3(1<λ,μ<2).

因為G為△ABC的重心,所以S△ABG=S△ACG.

點評這種解法很好地利用向量是代數和幾何的綜合體的特性，把幾何與代數完美地融合在一起.

縱觀本題的四種解法，前兩種解法是解析幾何中的通法，是解決直線與圓錐曲線位置關系的常用方法，將兩個三角形的面積的比值表示成某一個參數的解析式，進而轉化為求函數的最值問題.解法三、四通過數形結合，大大簡化了計算，這也要求我們教師在教學過程中要重視問題的幾何表征和代數特征，以及兩者之間的轉化.

五、總結與思考

從上述的四種解法中，我們深切地感受到，“想得少一點，做的多一點，想得多一點，做的少一點”，這是近幾年浙江高考命題的一個理念.正確計算是解決解析幾何問題的基本功，數形結合是轉化幾何問題的出發點.若想在現今的高考中所向披靡，兩者缺一不可，我們給出以下建議：

1.對于學生

(1)重視運算能力

運算能力包括基本的計算與算法的選擇兩個維度.例如本題中已知直線過某個定點與拋物線相交，兩個交點坐標之間的關系，這是基本的計算，必須熟練掌握.另外，在進行復雜的運算之前，要有算法選擇意識，想清楚計算的過程，選擇盡量優化的算法和順序再動手.

(2)強化數形結合思想

解析幾何的本質是用代數的方法解決幾何問題，但并不排斥對圖形結構的分析，若能運用好數形結合思想，先從圖形上將問題轉化，再計算則會簡單很多.

(3)選定一個方向，做下去

解析幾何計算的繁雜是常態！與其“望而卻步”，不如“埋頭實算”，你要堅信，只要方向正確，題目一定是可以解決的，不要輕易地半途而廢.和任何事情一樣，數學解題也是一個充滿喜怒哀樂的過程，惟有堅持，才能品嘗到成功的喜悅！

2.對于教師

(1)變式教學，提升學生素養.對高考題進行拓展性研究，觸及數學的本質，通過改變題目條件、把平面幾何性質遷移至圓錐曲線中等方式編制適合學生練習的新題，提高學生分析、解決問題的能力，提升數學核心素養.

(2)解法探析，智慧碰撞.教學中既要注重通法教學又要學會跳出模塊限制(例如本題圓錐曲線)，站在其他知識(平面向量，三角函數，不等式等)的視角審視問題，或許會有一番別開生面的場景.