錯中悟道
——一道不等式例題的教學感悟

江中偉

(廣東省梅州市虎山中學 514299)

一、問題提出

這是筆者近期高一隨堂聽課時一位年輕教師所采用的一道例題. 學生思考片刻后，教師讓學生A在黑板上書寫他的解答過程.

解答過程如下：

最后教師強調：若多次利用基本不等式求最值時，必須保證每一次取得等號的條件要一致，否則就會出錯.

教師點到為止， 然后進行第二題的講評.筆者認為教師應該趁熱打鐵，引導學生進行一題多解和多題一解的探究，培養學生的數學核心素養.

二、解法探究

為方便表述把剛才上面的正解記為解法1. 教師可以引導學生觀察題設中的x和y的關系，y可以看作是x的函數，從而得到解法2.

教師引導學生聯想初中學過的因式分解公式ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，從而得到解法3.

教師再引導學生從“1”出發聯想到三角公式：sin2α+cos2α=1，則可以得到解法4.

教師繼續引導學生：能否引進一個參數t，消去變量x，代入題設條件中得到一個含有參數t關于變量y的一元二次方程，從而得到解法5.

由已知得xy-9x-4y=0，令x+3y=t，得x=t-3y，代入上式得到方程：

3y2-(t+23)y+9t=0有實根.

這樣，教師引導學生從不同角度、多種方法解答問題，既幫助學生鞏固了以前學過的知識和方法，又提高了學生的解題能力和培養了學生的數學核心素養. 另外為了方便學生掌握這些解題方法，教師可以給方法1命名為“1”的妙用，方法2命名為“函數法”， 方法3命名為“整體處理法”，方法4命名為“三角代換法”, 方法5命名為“判別式法”. 如模型：設實數x,y滿足方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0，求mx+ny的最值(其中a,c∈R+，b,d,e,f,m,n∈R). 此類題型的通法是：可令mx+ny=k，與方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0聯立， 消去變量y(或x)后，得到關于變量x(或y)的一元二次方程，利用一元二次方程有實根的必要條件(判別式大于或等于零). 這樣， 對于具體的問題學生就能快速合理地選用恰當的方法.

三、觸類旁通

教師還可以趁熱打鐵出示下列幾組練習題，以檢驗學生學習的效果.

7.(2010年高考重慶卷理科第7題)已知x>0，y>0，且x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值為(B).

四、教學感悟

美國著名數學教育家波利亞說“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”因此，在平時的教學中，挑選恰當的題目進行一題多解、多題一解，能夠充分調動學生的學習興趣，激發學生的思維靈感，促使學生在原有的基礎上進行再認知，深化理解知識間的聯系，從而達到復習知識，優化結構，探究方法，提升能力的目的；另一方面也可以使學生在系統的高度上來審視問題，理順思維方向，優化解題思路. 無疑，這對于學生數學核心素養的培養和提升有著十分積極的作用.

核心素養是高中教育教學的靈魂，尤其是高中數學學科更是學生核心素養的重要陣地. 因此在高中數學課堂教學中應充分體現學生的主體參與過程，不能是教師的一言堂. 因為“告訴我，我會忘記；分析給我，我可能記住；如果讓我參與，我會真正理解.” 通過一題多解和多題一解訓練，激發了學生的探究興趣和參與意識，使得學生有了創新的沖動，化被動為主動參與、積極探究.

因此我們教師在日常的教學中，應引導學生多方面、多角度思考，引導學生經歷用不同方法解決數學問題以及用相同方法解決同類數學問題(即一題多解和多題一解)，才能有利于學生開拓數學視野 ，為學生的終生發展、持續發展、多元發展奠定良好的基礎.