轉化思想在立體幾何解題中的應用探討

楊原明

(江蘇省西安交通大學蘇州附屬中學 215021)

利用轉化思想來解決數學問題是最基本的解題思路.通過轉化，可以將抽象的問題變得直觀，將復雜的問題變得簡單化，以此來達到解決問題的目的.立體幾何是研究空間圖形、畫法和有關計算與應用的一門學科.是建立在平面幾何知識內容的基礎上研究的.從此可以看出，轉化思想是立體幾何中的基本思想.

一、簡述轉化思想

將一個問題轉化為另一個問題即為轉化思想，主要核心內容就是把未知化為已知，把繁瑣的問題化為簡單的，把抽象化為具體等等，利用這樣轉化的思想可以節約解題的時間，并且還大大地提高了正確率，最終將我們遇到的難解題目轉化為簡單易解的問題.

在高中的數學學習中，學生學習立體幾何這一內容的時候，很多學生不能把立體和平面的圖形區分開來，在解答立體幾何空間圖形的時候都會存在思維障礙，這就說明學生不能將空間圖形具體化，也就是不能把抽象問題具體化，所以，在教學過程中，應該培養學生的轉化思想，這樣有利于學生更好地建立起轉化的思想，也便于對抽象問題的解決.

二、概括立體幾何中空間圖形向平面圖形轉化的方法

高中課程學習立體幾何，有直線與平面這部分內容，其中空間角的問題，比如，直線與直線所形成的角，直線與平面所形成的角，平面與平面所形成的角等等，在解決這類問題的時候，都可以用到轉化的思想，將空間角轉化為平面角，用平面內的角度來描述空間內角度的大小.根據線線、線面、面面垂直和平行的判定和性質定理，可以有效地解決這類問題.概括起來主要有三種類型，接下來主要探討一下這三種類型.

1.空間角向平面角的轉化

空間角即兩條異面直線所成的角，直線和平面所成的角以及二面角，空間角的計算一般分為，一作，二證，三算.二面角的計算可以使用射影面積公式來計算，但是大部分空間角的計算方法都是將其轉化為平面角來計算的，充分挖掘圖形的性質，尋求平行關系.例如，利用“中點”的性質，直線與平面所成的角是平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，只要將斜線上取一點向平面引一條垂線，以形成由平面的斜線、垂線以及斜線在平面上的射影組成的直角三角形.異面直線所成的角，教學中都是將空間的角轉化為平面的角來刻畫兩異面直線的交叉程度的.異面的直線就是指不在同一個平面內的兩條直線，但是，就只憑借說它們不在同一個平面來說明它們之間的關系是不夠的，想要具體地描述出兩條異面直線的關系，就必須要借助數學量來進行描述.在立體幾何中，將空間角轉化為平面角，用平面角的刻畫兩條異面直線所成的角.構成的銳角或直角就是異面直線所成的角.因此可以看出，想要解出兩條異面直線所成的角，一般都是采用平移作出角圖形的辦法，然后再計算其大小.

例如：

直線a，b是異面直線，經過空間一點O，分別引直線m∥a,n∥b,相交直線m，n所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角.

異面直線所成角的計算.

平移其中一條或兩條使其相交；連接端點，使角在一個三角形中(或者平行四邊形等可以輕易求出角與角關系的基本平面幾何形中)；計算三條邊長，用余弦定理計算余弦值；若余弦值為負，則取其相反數.可以看出，如果想要求異面直線所成的角，就必須先要轉化為平面內的角，再通過平面的幾何知識來求得角的大小.

2.空間距離向平面距離轉化

在立體幾何中，求解空間距離，即要轉化成平面距離，比如異面直線之間的距離，直線與平面之間的距離，點到直線的距離等等.在求解的時候，可以將其先轉化成線段，再求解線段的長度.例如

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．

(1)證明：AB1⊥BC1；

(2)求點B到平面AB1C1的距離.

建立空間直角坐標系，表示出相關點的坐標，利用數量積證明垂直；

求出平面AB1C1的一個法向量，代入公式求點B到平面AB1C1的距離.

∴AB1⊥BC1.

(2)設n1=(x1,y1,z1)是平面AB1C1的一個法向量.

令z1=1,∴n1=(1,0,1).

例題主要求解點到面的距離.由此可以看出，在求解空間距離的時候，最主要的是要找到點到平面的垂足，而線面垂直和面面垂直的性質定理是找垂足的依據，空間距離的幾何意思即就是轉化思想，如將面面距離轉化為點面距離、線面距離轉化為點面距離，因此在求距離問題的時候，轉化為求點面的距離是重點.

3.空間度量向平面度量轉化

度量亦稱距離函數，是度量空間中滿足特定條件的特殊函數，一般用d表示.而在生活中空間度量是比較抽象的，平面度量則是比較直觀的.同樣，平面圖形的面積也肯定比空間圖形的面積好計算，比如生活中我們遇到的圓柱和圓錐等的側面積，則是利用將其展開為平面圖形再計算其面積的.

空間立體幾何的學習貫穿整個高中學習過程.在以往的高考中，立體幾何占有很大的分值，立體幾何也是高中數學的主要內容，通過轉化思想更好地學習解決立體幾何問題，這對于提高學生的思維能力有很大幫助.想要熟練地運用轉化思想解決立體幾何問題，就需要將轉化的思想完全理解.轉化思想對于普遍學生來說都是比較容易接受和掌握的，因為它能將復雜的問題簡單化，將模糊的邏輯清晰化，合理地將這些應用到解題思路中，對解決問題大有幫助.由此可以看出，利用轉化思想來解決立體幾何問題，這樣會使問題簡單很多，所以，一定要理解和掌握轉化思想的真諦，以便為以后的學習打下扎實的基礎.