利用遞推關(guān)系求解數(shù)列通項(xiàng)公式的解題策略

許萬成

(江蘇省建湖縣第二中學(xué) 224700)

數(shù)列問題一直是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).很多學(xué)生對數(shù)列都存在畏懼心理.其根本原因是他們對于數(shù)列的通項(xiàng)公式不夠了解，如果能夠把數(shù)列的通項(xiàng)公式求出來，那么很多問題都可以解決了.但是數(shù)列的通項(xiàng)公式如何求解呢？尤其是已經(jīng)知道數(shù)列的項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，如何快速準(zhǔn)確地求出數(shù)列的通項(xiàng)公式又成為解決問題的關(guān)鍵.本文筆者根據(jù)自己平時(shí)的教學(xué)，將一些常見的題型利用例題的形式呈現(xiàn)給讀者.

一、形如an+1=pan+q型

例1已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n+1=3an+1，

二、形如an+1=pan+qn型

例2已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=3n+2an-1(n≥2),求an.

解因?yàn)閍1=1,an=3n+2an-1(n≥2),

三、形如an+1=pan+an2+bn+c(p≠1,0;a,b,c為常數(shù))型

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2n-1，求an.

解因?yàn)閍1=1,an+1=3an+2n-1,

所以an+1+(n+1)=3(an+n).

所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

即bn=2×3n-1，故an=2×3n-1-n.

例4已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=3an-1+2n2-1(n≥2),求an.

解因?yàn)閍n=3an-1+2n2-1(n≥2),

設(shè)an+xn2+yn+z=3(an-1+x(n-1)2+y(n-1)+z)，整理得an=3an-1+2xn2+(-6x+2y)n+(3x-3y+2z).

評注這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即設(shè)an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=p[an+xn2+yn+z]與已知遞推式比較，解出x,y,z，從而轉(zhuǎn)化為公比為p的等比數(shù)列{an+xn2+yn+z}.

四、形如an+2=pan+1+qan(其中p,q均為常數(shù))型

例5已知數(shù)列{an}滿足an+2=5an+1-6an,a1=-1,a2=2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解設(shè)an+2+λan+1=(5+λ)(an+1+λan)，比較系數(shù)可解得λ=-3或λ=-2.

不妨取λ=-2(取-3，結(jié)果形式可能不同，但是本質(zhì)相同)，則有an+2-2an+1=3(an+1-2an)，則{an+1-2an}是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

所以an+1-2an=4×3n-1.

評注對于an+2=pan+1+qan(其中p,q均為常數(shù))可以將遞推公式轉(zhuǎn)換成an+2+λan+1=(p+λ)(an+1+λan)形式，比較系數(shù)可求得λ，然后設(shè)bn=an+1+λan，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，接著利用例2的方法求解數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

五、形如為常數(shù))型

所以log2an=1+2log2an-1,

即log2an+1=2(log2an-1+1).

設(shè)bn=log2an+1，則數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

bn=2n-1,故an=2(2n-1-1).